Strongart数学笔记：MeasureandCategory读后感.pdf

Measure and Category读后感 上个月我非常愉快的读完了John C. Oxtoby的Measure and Category，封面上译名为测度与范畴学，不过我觉得书名应该翻译成 测度与纲，因为它和代数学中范畴并没有什么关系。 在现代数学中有三种衡量集合大小的概念；基数、测度与纲，前 者是集合论中的概念，而这本书主要就是对后两者的异同做了详细的 阐释，特别指出了零测集与第一纲集的惊人相似，比如在直线这两个 集合都是σ-理想，都包含所有的可数集，都包含标准Cantor集，都 不包含区间、补集都稠密等等。正如我们所知，测度理论作为积分理 论的基础已经非常成熟了，而纲的地位则比较尴尬，Rudin在他的《泛 函分析》中说纲是公认的缺乏启发性的概念，却同时又是顽固而又难 以改变的。这本书中介绍很多测度与纲之间的联系，测度内容往往已 经为我们所知，而纲的部分则要显得生疏一些，下面我就具体谈谈自 己的体会。 第一章从直线上开始讲基本概念，值得注意的是最后一个定理， 它说明直线上任何子集都是零集与第一纲集的不交并。在测度论中， 零集往往是忽略不计的，在纲理论中，第一纲集也是非常可怜的，然 而这两个东西居然废物利用般的能凑成整个直线，实在太让人意外 了！下面一章介绍了Liouville数，它的集合E与其补集算是对这个 神奇的结论给出了一个具体的例子。 第三章在欧式r-空间中由外测度引入测度，指出可测集就是Fσ 集加零集（或Gδ集减零集），稍微深刻一点的是最后关于集合密度 的Lebesgue稠密定理。第四章介绍Baire性质，所谓有Baire性质 的集就是开集与第一纲集的对称差，相当于测度论中的可测集。这一 章值得注意的是最后的一个定理，它是直线上两正测度集之和包含区 间的抽象形式，其证明是非常精致的。第五章给出三种不可测集的结 构，群论的、拓扑学的和集合论的，拓扑学的Bernstein集既不是可 测的也不是有Baire性质的。第六章是一个Game，不苛求细节的话 应该是轻松愉快的。 后面两章回顾了Riemannn积分与Lebesgue积分中基本思想与重 要定理，然后就把舞台放到更一般的度量空间上，值得注意的是度量 完备化与拓扑完备化之间的区别，在第十二章的Alexandroff定理与 逆定理给出一个充要条件：完备度量空间的子集是拓扑完备的当且仅 当它是Gδ集。后面的一章也给出一个充要条件：线性集是第一纲的 当且仅当有直线上的同胚把它映到Fσ零测集内，直接把纲与测度联 系到了一起。 第十四章讲熟知的Fubini定理，最后借助集合论手段构造的不 共线平面集的反例非常有趣；然而关于纲的Kuratowski-Ulam定理的 知名度就差了，同样也有类似的反例。第十六章讲Banach纲定理， 即拓扑空间中第一纲开集的任意并都是第一纲的，然而其测度形式却 需要一个零测基数的假设，最后的那个定理可以视为第一章中那个神 奇结论在度量空间中的推广。此后两章讲测度与纲理论在动力系统理 论中的应用，不太感兴趣的可以浏览一下就跳过。 最后几章是全书的高潮，把前面暗示的相似性以定理的形式揭示 出来，遗憾的是这里还包含不少的限制条件。第十九章中的 Sierpinski-Erdos对偶定理介绍了在连续统假设下，集论命题中“零 测集”与“第一纲集”可以相互的完全替换，可惜书中的证明用了集 合论的抽象形式，我暂时未能深入领会。下一章是精彩的例子，然后 就尝试把这样的对偶推广到“可测集”与“有Baire性质的集合” 上，遗憾的是竟然出现了一个反例！这说明没有能保证把“可测集” 无条件替换为“有Baire性质的集合”的定理，遇到具体命题时只能 手工检验其真伪。最后一章中介绍了纲测度，直接等同第一纲集与零 测集，只可惜通常直线上的Lebesgue测度并不属于此类，需要人工 定义新的拓扑才行。 此书一共有二十二节，可正文内容却不到一百页，尽管页数不多， 内容却非常有特色，很多东西都是一般实分析教材中不常见的，而且 思路清晰极具趣味。如果你已经读完一本实分析教材的话，把此书作 为一个补充阅读是再好不过的了。 本文作者Strongart 是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚 持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放 在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网 络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学 者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是 对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之