t^αdt的估计式.pdf

第29卷第 3期 大 学 数 学 Vo1．29，№ ．3 2013年 6月 CoLLEGEM ATHEM ATICS Jun．2013 反常积分 sintd 的估计式 丁士锋 (中南大学 数学与统计学院，湖南 长沙 410082) i 本文研究在2≤ 4时，反常积分 sntd￡当 一。时 [摘要]当o2时，积分Jf0。。‘d收敛． 。 ￡ 的估计式． [关键词]反常积分 ；r一函数；Taylor级数 [中图分类号]O172．1 [文献标识码]C [文章编号]1672—1454(2013)03—0088—03 1 主要结果 Dirichlet积分JI0 dt一詈‘和Fresnel积分Jsin(tz)dt一4—~r—／8可以由公式 0 而 ㈩ 统一概括([1]，652页)．这里r(a)为Eulerr一函数，能使(1)式成立的参数 口的范围为 0a2(若 取复数 ，则为 0 Re 2)． 当a≥2时，由于 ～ (—o)，故对任何e0，有J． d=。。．但是熟知对任何zo， a 0，积分 sint出都存在 ， 因此分离出当z一0时，积分』sint出的无穷大主部和余项是值得研 究的问题．利用 r一函数 ，本文得到以下结果． 定理 1 当z一 0 时，有 Jl～ dt一1n +1一y+o(z)， t z 。 z 其中 y为 Euler常数． 定理 2 设 2 口 4。则当．z— O 时 ，有 j． 专+而 +oc㈣ ． 2 定理 的证 明 代替积分』sintd￡，考察a取复数的复变函数 G(口)：f 堕d～f。。sintd． J0 t。 J1 t [收稿 日期]201卜O1—31 第3期 丁士锋：反常积分_rsint出的估计式 89 5l理 1 在复平面区域 0 Rea 4内G(口)解析 ，且有表达式 G( 一 ～ ,r／2 一 a l 口 S1n ／ra ／zJ ． 口一2为 G(口)的可去奇点且 G(2)一y一1，其 中’，一0 ． 577215… 为 Euler常数． 证 这里需要用到一些关于在无穷曲线上积分的复变函数的解析性的判断定理 ， 可以参见[2]lO8 ～ o。页的定理 2·83和定理 2．84．