16行列式的计算方法doc..doc

高等代数拓展内容之十六 行列式的计算方法 刘媛媛 归纳行列式的各种计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊例子进行推广。 方法1　 按行（列）展开法（降阶法） 设为阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有 或　 其中为中的元素的代数余子式 按行（列）展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。 方法2　　化三角形法 化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。 原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。 例：计算n阶行列式 [分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。 解： 以上就是计算行列式最基本的两种方法，接下来介绍的一些方法，不管是哪种，都要与行列式的性质和基本方法结合起来。 下面是一常用的方法： 方法3　递推法 应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。 ［注意］用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。 方法4 加边法（升阶法） 有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。 加边法的一般做法是： 特殊情况取 或 [注意] 大家一定要记住，加边法最在的特点就是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简化计算的效果。 方法5 　拆行（列）法 由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行列式值，此法称为拆行（列）法。 由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值。 方法6 数学归纳法 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了） 方法7 .辅助行列式法 辅助行列式法应用条件：行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同。 解题程序： 1）在行列式D的各元素中加上一个相同的元素x，使新行列式除主对角线外，其余元素均为0； 2）计算的主对角线各元素的代数余子式; 3) 以下几种方法是利用到公式，所以有的方法在这只简单地给出其应用，只要记住公式，会应用就行。 方法8 利用拉普拉斯定理 拉普拉斯定理的四种特殊情形： 1） 2） 3） 4） 方法 9 .利用范德蒙行列式 范德蒙行列式： 参考文献： 李师正等 《高等代数复习解题方法与技巧》 高等教育出版社 2005 张贤科 许甫华 《高等代数学》 清华大学出版社 2000 刘学鹏等 《高等代数复习与研究》 南海出版公司 1995 张禾瑞 郝鈵新 《高等代数》 高等教育出版社 1993 作者简介： 刘媛媛，女，生于1981年，毕业于西北