[复变函数]4-3.ppt

第三节 泰勒级数 一、问题的引入 二、泰勒定理 三、将函数展开成泰勒级数 四、典型例题 五、小结 * 二、泰勒定理 三、将函数展开成泰勒级数 一、问题的引入 四、典型例题 五、小结 问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？ . 内任意点 如图: . K . 由柯西积分公式 , 有 其中 K 取正方向. 则 由高阶导数公式, 上式又可写成 其中 可知在K内 令 则在K上连续, 即存在一个正常数M, 在 内成立, 从而在K内 圆周 的半径可以任意增大,只要 内成立. 在 的泰勒展开式, 在 泰勒级数 如果 到 的边界上各点的最短距离为 那末 在 的泰勒展开式在　　　　内成立． 因为凡满足 的 必能使 由上讨论得重要定理——泰勒展开定理 在 的泰勒级数 的收敛半径 至少等于　， 但 其中 泰勒级数 泰勒展开式 定理 设 在区域 内解析, 为 内的一 为 到 的边界上各点的最短距离, 那末 点, 时, 成立, 当 说明: 1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?) 4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. (为什么?) 　　因为　　解析，可以保证无限次可各 阶导数的连续性; 所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就 要比实变函数广阔的多. 注意 问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？ 那末 即 因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的. 常用方法: 直接法和间接法. 1.直接法: 由泰勒展开定理计算系数 例如， 故有 仿照上例 , 2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 . 例如， 附: 常见函数的泰勒展开式 例1 解 上式两边逐项求导, 例2 分析 如图, 即 将展开式两端沿 C 逐项积分, 得 解