《离散数学》学习辅导之一.doc

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《离散数学》学习辅导之一

《离散数学》学习辅导之一 第1章 集合及其运算 一、主要内容 1.集合的概念 ( 集合与元素——具有确定的,可以区分的若干事物的全体称为集合,其中的事物叫元素.集合的元素不能重复出现,集合中的元素无顺序之分. 集合与其元素之间存在属于“(”或不属于“(”关系.A中元素的个数为集合的元数,记作(A(. ( 集合的表示方法 列举法是列出集合的所有元素,并用花括号括起来.例如集合 = {},N = {0, 1, 2, 3, …}. 描述法是将集合中元素的共同属性描述出来.例如集合B = {},D = {是正整数}. 文氏图法是用一个简单的平面区域表示一个集合,用区域内的点表示集合内的元素. 2.集合的关系 ( 包含(子集)若,都有,则B包含A(或A包含于B),称A是B的子集,记又A(B,则A是B的真子集,记A(B( 集合相等若A(B,B(A,则A=B. 注意:元素与集合集合与子集子集与幂集(与((()空集(与所有集合等的关系 3.特殊集合 ( 全集合E在一个具体问题中,所涉及的集合都是某个集合的子集,该集合为全集 ( 空集(不含任何元素的集合为空集空集是惟一的,它是任何集合的子集 ( 集合A的幂集P(A)集合A的所有子集构成的集合A的幂集. 若(A(=n,则(P(A)(=2n. 4.集合的运算 ( 集合A和B的并A(B——由集合A和B的所有元素组成的集合. ( 集合A和B的交A(B——由集合A和B的公共元素组成的集合. ( 集合A的补集(A——属于E但不属于集合A的元素组成的集合,记作(A.补集总相对于一个全集. ( 集合A与B的差集A-B——由属于A,而不属于B的所有元素组成的集合.. ( 集合A与B的对称差记作 A(B=(A-B)((B-A),或A(B=)A(B〕-(A(B) 要熟练掌握运算的性质 (运算律),即交换律、结合律、分配律、幂等律、同一律、零律、补余律、吸收律、摩根律和双补律等 5.恒等式证明 集合运算部分有三个方面的问题:其一是进行集合的运算;其二是集合运算式的化简;其三是集合恒等式的推理证明. 集合恒等式的证明方法通常有二: (1) 要证明A=B,只需要证明A(B,又A(B; (2) 通过运算律进行等式推导. 6.有限集合的计数方法 首先根据已知条件把对应的文氏图画出来,然后将已知集合的元素填入表示该集合的区域内.通常从几个集合的交集填起,根据计算结果将数字逐步填入所有的空白区域内.如果交集的数字是未知的,可以将其设为x,再根据已知条件列出方程或方程组,解出未知数x. 也可以用容斥定理计算有限集合的元素个数. 定理1.2.2(容斥定理) 对任意两个有限集合A和B,有 =+ - 其中,分别表示A,B的元素个数. 定理1.2.2的推广结论:对于任意三个有限集合A, B, C,有 = ++---+ 二、实例 例1 已知S={2, a, {3}, 4},R={{a}, 3, 4, 1},判断下列各题是否正确:. (1) {a}(S; (2) {a}(R; (3) {a, 4, {3}}(S; (4) {{a}, 1, 3, 4}(R; (5) R=S; (6) {a}(S (7) {a}(R (8) ((R (9) (({{a}}(R (10) {(}(S (11) ((R (12) (({{3}, 4} 解 集合S有四个元素:2,a,{3},4,而元素{3}又是集合;集合R类似. (1) 错.因为{a}是单元素的集合,{a}不是集合S的元素,所以“{a}(S”是错的. (2) 对.因为{a}是R的元素,所以“{a}(R”是正确的. (3) 对.因为a, 4, {3}都是S的元素,以此为元素构成的集合是S的子集.所以“{a,4,{3}}(S”是正确的. (4) 对.因为{a}, 1, 3, 4都是R的元素,以此为元素构成的集合是R的子集,所以“{{a},1,3,4}(R”是正确的. (5) 错.因为元素2(S,但2(R,所以S( R. (6),,和题号的命题真值为1;而, ,题号命题真值为0. (7) 错.因为{a}是集合R的元素,元素与集合之间不能用“(”,正确的表示为:{a}(R. (8) 对.因为空集(是任意集合的子集。 (9) 对.因为(是集合{{a}}的子集,{{a}}是集合R的子集,所以(({{a}}(R是正确的。 (10) 错.因为(不是集合S的元素,所以由空集(构成的集合不是S的子集,即{(}(S是错的.

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