常微分方程简明教程王玉文等编习题解答.docVIP

二阶线性常系数微分方程 1.考虑两个参数的线性方程组 若分别是鞍点、汇、源，试在平面上确定出相应的区域。 解：方程的特征方程为. 解得特征根为。 需分类讨论： （I）当时，知。 （i）当，即时，是汇。 （ii）当，即时，是鞍点。 （ii）当，即时，是源。 （II）当时，知。 （i）当，即时，是汇。 （ii）当，即时，是鞍点。 （ii）当，即时，是源。 图3-1 2.求解下列给定二阶微分方程的通解: 解：方程的特征方程为. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。 将上式两端求导得 。 令得 由此得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。 （2） 解：特征方程：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。 将上式两端求导得 。 令，得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。 （3） 解：特征方程：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。 将上式两端求导得 。 令得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。 （4） 解：特征方程：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。 将上式两端求导得 。 令，得 由此得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。 （5） 解：特征方程：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。 将上式两端求导得 。 令，得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。 （6） 解：特征方程：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。 将上式两端求导得 。 令，得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。 求解下列初值问题: . 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。 将上式两端求导得 。 令，得 由此得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。 由已知初值条件，则有 由此得 则原方程满足初值条件的特解为 。 （2） 解：特征方程：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。 将上式两端求导得 。 令，得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。 由已知初值条件，则有 由此得 则原方程满足初值条件的特解为 。 （3） 解：特征方程：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。 将上式两端求导得 。 令，得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。 由已知初值条件，则有 由此得 则原方程满足初值条件的特解为 。 （4） 解：特征方程：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。 将上式两端求导得 。 令，得 由此得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。 由已知初值条件，则有 由此得 则原方程满足初值条件