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常微分方程简明教程王玉文等编习题解答
二阶线性常系数微分方程
1.考虑两个参数的线性方程组
若分别是鞍点、汇、源,试在平面上确定出相应的区域。
解:方程的特征方程为. 解得特征根为。
需分类讨论:
(I)当时,知。
(i)当,即时,是汇。
(ii)当,即时,是鞍点。
(ii)当,即时,是源。
(II)当时,知。
(i)当,即时,是汇。
(ii)当,即时,是鞍点。
(ii)当,即时,是源。
图3-1
2.求解下列给定二阶微分方程的通解:
解:方程的特征方程为. 解得特征根为.
因此, 为齐次方程的两个解。
设为常数,使得 。
将上式两端求导得 。
令得 由此得。因此,与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知,原方程的通解为
。
(2)
解:特征方程:. 解得特征根为.
因此, 为齐次方程的两个解。
设为常数,使得 。
将上式两端求导得 。
令,得。因此,与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知,原方程的通解为
。
(3)
解:特征方程:. 解得特征根为.
因此, 为齐次方程的两个解。
设为常数,使得 。
将上式两端求导得 。
令得。因此,与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知,原方程的通解为
。
(4)
解:特征方程:. 解得特征根为.
因此, 为齐次方程的两个解。
设为常数,使得 。
将上式两端求导得 。
令,得 由此得。因此,与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知,原方程的通解为
。
(5)
解:特征方程:. 解得特征根为.
因此, 为齐次方程的两个解。
设为常数,使得 。
将上式两端求导得 。
令,得。因此,与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知,原方程的通解为
。
(6)
解:特征方程:. 解得特征根为.
因此, 为齐次方程的两个解。
设为常数,使得 。
将上式两端求导得 。
令,得。因此,与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知,原方程的通解为
。
求解下列初值问题:
. 解得特征根为.
因此, 为齐次方程的两个解。
设为常数,使得 。
将上式两端求导得 。
令,得 由此得。因此,与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知,原方程的通解为
。
由已知初值条件,则有 由此得
则原方程满足初值条件的特解为
。
(2)
解:特征方程:. 解得特征根为.
因此, 为齐次方程的两个解。
设为常数,使得 。
将上式两端求导得 。
令,得。因此,与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知,原方程的通解为
。
由已知初值条件,则有 由此得
则原方程满足初值条件的特解为
。
(3)
解:特征方程:. 解得特征根为.
因此, 为齐次方程的两个解。
设为常数,使得 。
将上式两端求导得 。
令,得。因此,与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知,原方程的通解为
。
由已知初值条件,则有 由此得
则原方程满足初值条件的特解为
。
(4)
解:特征方程:. 解得特征根为.
因此, 为齐次方程的两个解。
设为常数,使得 。
将上式两端求导得 。
令,得 由此得。因此,与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知,原方程的通解为
。
由已知初值条件,则有 由此得
则原方程满足初值条件
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