一致极小集及其对一致连续偏序集的应用.pdf

第 28卷第 4期 模 糊 系 统 与 数 学 Vo1．28，No．4 2014年 8月 FuzzySystemsandMathematics Aug．，2014 文章编号 ：100l一7402(2014)04—0080—04 一 致极小集及其对一致连续偏序集的应用 阮小军 。，徐晓泉。 (1．南 昌大学 数学系 ，江西 南昌 330031； 2．四川大学 数学学院，四川 成都 610064； 3．江西师范大学 数学与信息科学学院，江西 南 昌 330022) 摘 要 ：对于一致极小集，讨论 了它的一些性质及与一致连续偏序集的关系，给 出了一致连续偏序集 中 保一致极小集映射的一些等价刻划 。最后 ，得到 了关于保一致极小集映射的扩张定理。 关键词 ：一致极小集；一致连续偏序集；一致基 中图分类号 ：0153 文献标识码 ：A 20世纪 70年代初 ，著名数学家和理论计算机科学家 Scott创立了连续格理论_】]，为确定性程序 的 指称语义奠定了坚实的基础。随着连续格理论的发展 ，人们又把重点放在了更广泛的对象一一 连续偏序 集上 。由于程序展开理论的研究 ，在偏序集中提出了 “一致集”的概念 ，它是 “定向集”的自然推 广，并且有关一致集的格论研究是程序展开理论的基础。近来 ，一致连续偏序集 的基和一致 Scott拓扑 的性质以及一致连续偏序集在映射下的一些性质得到了研究Ⅲ，本文受文[7]启发，基于一致极小集 的 概念 ，讨论 了它的性质及与一致连续偏序集的关系，最后给出了一致连续偏序集 中保一致极小集与保一 致并和 ≤ 间的等价刻划及其有关性质 ，得到了关于保一致极小集映射 的扩张定理 。 1 预备知识 设 P为偏序集 ，记 ◆z一 {Y∈P：Y≤ z}， A—U +n；对偶地定义 十z，十A 文中用到的符号或涉及到的概念如未说明，请参看文[1]。 定义 1．1 (1)设P为偏序集 ，S P，若 Vz， ∈S，存在 ∈P使z≤ z，Y≤ ，则称 s为 P 的一致集 。记 P的一致集全体为 (P)。 (2)对偏序集 P中任意一致集都存在最小上界 ，则称P为一致完备的。 显然 ，定向集为一致集。 定义 1．25 设P为一致完备偏序集，定义P上的Way—below≤ 关系如下：Vz，Y∈P，若对于任 意一致集 ，当Y≤VS时， S∈S使得 ≤S，则称 一致小于Y，记为 ．z≤ ．记 1}z一 {U：z≤U)， {J．32一 {“：“≤,32}。 注 1．1 (1) ≤ ≤ ；(2)“≤ ．72≤ Y≤ = ≤ ． * 收稿 日期 ：2013-09～18；修订 日期 ：2014一Ol一16 基金项 目：国家 自然科学基金资助项 目61175127；江西省 自然科学基金资助项 目(20132BAB2010031)；江 西省教育厅青年科学基金资助项 目(GJJ12163~GJJ12093) 作者简介 ：阮小军 (1976一)，男，江西武宁人，南 昌大学数学系讲师，研究方向：拓扑学，格论，domain理论；徐晓泉 (1961一)，男，江西 乐平人 ，江西师范大学数学与信 息科学学 院教授 ，博士生导师 ，研究方向：拓扑学，格序结构 ，domain理论 。 第 4期 阮小军，徐晓泉 ：一致极小集及其对一致连续偏序集 的应用 8l 定义 1．3_s 设P为一致完备偏序集 ，P满足如下两个条件 ： (1)V ∈P， 是P中的一致集 ； (2)V z ∈ 尸，,27一 V z． 则称 P是一致连续偏序集 。 引理 1．1l6 设 P是一致连续偏序集 ，Vz，EP，若 -z≤ ，则j EP使 {≤z≤ ．即插入性 质在 P中成立 。 定义 1．4 设 尸是一致完备偏序集 ，B P．若 V EP，了B B使 是 尸的一致集 ，B z，且 VB 一 z，则