三角数列连乘积的求值方法.pdf

维普资讯 2000年第2期 中学数学 19 三角数列连乘积的求值方法 410007 湖南省长沙市雅礼中学 李再湘 三角函数连乘积问题是中学数学的难点之一． = (n∈N)， 我们在解题时常常碰到．但多数问题的解法技巧性 强，处理方法奇特，有时解题的入口很窄，难以得到正 ②(1+sec20)·(1+sec40)…··(1+sec2，l) =tg2，l ·ctg#， 确的解答．因此，本文通过一些具体的实例谈一谈三 角函数数列的求积技巧与方法． ③(cos号+c。s导)·(cos号+c。s鲁)…·· 1 约分法 s +cos COS COS 导~t-- ‘ 约分法的基本思想是把通项口进行变形为 一 = 的形式，使其分子分母与前后项有公因式可 2 构造对偶式 CH 根据正余对偶的原理，给原式匹配一个与之相对 约． 应的对偶式，然后并项变形、化简求值，从而达到迅速 例1 求证：(2cosz一1)·(2cos 一1)… ·· 获解的效果． (2cos z_1)： ． 例2求M=c。s景c·。s案c·。s案…一c0s等 证明 ．‘‘(2cos2k-ix一1)(2cos 一z+1) 的值． =4cos22k-1 一 1 解 构造对偶式 = 2(COS z+1)一1 “ ‘sm ‘sm … 一 “ ， = 2cos z+1， -．．zcoszH一=等 ． 则删=sin警s·in…一sin 令五=1，2，3，…，，l，各式相乘即得 “ m … 一 “ ’ (2cosz一1)·(2cos2x一1)… ··(2cos z一1) ．．． M一 一 · 2cos2”z+1 2cosz+ 1 ‘ 同理可推广为 同法我们还可以证得如下等式： ① COS ·COS20·COS40… ··COS2一 一 ；雨 ；币 …一瞄 雨 一 ‘ ．+ -+ -+ ．-4-．+ ．-4--+ -+ -+ -+ -+ -+ -—卜-—卜 —卜-—卜 — -+ — -—卜 — · 广场，其高度为— — ． 0 可令 (z)一z瑚。+z进行换元有 略解 将题 中圆锥形 f(z+8)一f(一z)． 。 的光栅空间区域，退为其 ． ‘函数厂(z)在R上单调递增， ’ 轴截面：等腰三角形脚 ， ． ．