二项展开式中系数最大值问题的探究学习..doc

二项展开式中系数最大值问题的探究学习 浙江省诸暨市草塔中学 何 勇 鲁芝珍 311812 倡导“积极主动、勇于探索的学习方式”是新课程所提出的一项基本理念，二项式定理中经常出现一类求二项式系数最大值的问题,除了要求搞清楚某一项的二项式系数与系数的区别以外,还要对一些常见的系数最大值问题进行探求分析。笔者对二项展开式中系数最大值问题进行了探究教学的尝试。 问题、求（+）10展开式中系数最大的项。 师：本题小括号内的项看似复杂,既有三次和五次根式,又在分母中含有变量,请思考展开式中各项系数与二项式系数的关系。 生：因为小括内的两个项和本身的系数为1,所以展开式中每一项的系数都等于该项的二项式系数,而展开式中中间项的二项式系数最大,故只需求二项式系数最大项即可。 解：由题，二项展开式的系数即该项的二项式系数，所以系数最大的项为第6项，即T6==252。 探究1、求（）9展开式中系数最小的项。 师：本题小括号的项的系数与上题有何区别？ 生：本题小括号的两项的系数分别为1和，故展开式中奇数项的系数等于该项的二项式系数，而偶数项的系数等于该项的二项式系数的相反数。即每一项的系数与该项的二项式系数的绝对值相等。 解：由题，二项展开式的系数与该项的二项式系数的绝对值相等，而展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，且第5项的系数为正，第6项的系数为负，故展开式中系数最小的项为第6项，即T6==。 探究2、求（1+2x）4展开式中系数最大的项。 师：可以发现，本题中小括号内两项的系数与二项式系数既不相等也不相反，该如何来求系数最大的项？ 生：…… 师：该题显然不能按上述两题的方法直接转化成二项式系数，我们可以尝试应用“夹逼法”求解。 解：设展开式中的第r+1项为Tr+1= (r=0,1,…4)， 令——① 即得， 故r=3，即第四项的系数最大，T4==。 探究3、：由①式求解系数的最大值时的r一定有解吗？如果有解，会有几个解？你能证明吗？ 生1：可能会有多个解，比如有可能第3项比第2项和第4项的系数大，第6项比第5项和第7项的系数大…… 生2：可能会无解，比如各项的系数依次减小或依次增大时，这样的r就不存在。 师：那我们不妨对一般结论加以证明，例如求（1+ax）n展开式中系数最大的项(其中a0).请同学们按照夹逼法的思想进行探求。下面由同学们自己思考。 解：设展开式中的第r+1项为Tr+1= 令，展开得，即 a0, ,故，又=1， 上述方程组必有解，且当和都为整数时，r有两解：、，否则r有且只有一解。 探究4、求（）10展开式中系数最大的项。 师:本题小括号中第二项的系数为,所以各项的系数与二项式系数不同且展开式的项呈正负相间变化，与上题又有区别，又该如何求解呢？ 生一：用“夹逼法”。设展开式中的第r+1项为Tr+1= 令,即…… 师：若将此式展开化简，则由于r的奇偶性不确定，所以、等的正负性不定，而且由于项的正负相间，会有多个满足条件的r，故此法不可取。 生二：既然根据思路一直接用“夹逼法”不可行，是因为项正负相间。因为展开式的奇数项为正，偶数项为负，故系数最大的项必为奇数项，即r为偶数。 设r为偶数，令， 即， 即…… 师：上述不等式组中的两个不等式都是二次不等式，虽然理论上可以求出满足条件的r,但求解过程较繁。 生三：由变式1想到项r与项的绝对值之间的关系，于是不妨先求绝对值最大的项。 解：Tr+1=，令ar=，令ar+1ar,即,rN,r6,即r1r2r3r4r5r6r7r8r9r10,又r=7时系数小于0，故只要比较和的大小，求得，故第7项的系数最大T7=210。 小结： ①对二项式(ax+by)n展开式中系数的最大值问题，当a=b=1时可直接转化到二项式系数求解，反之，可以直接用“夹逼法”思想或考察各项的系数绝对值的单调性来求解。 ②本节内容从二项式系数的最大值问题开始，由浅入深，不断递进，同时对“夹逼法”思想进行了一般性探究，有利于学生创新思维品质的培养。 1