不用平面法向量求二面角的简单方法.pdf

54 数学通讯——2O13年第 11、12期(上半月) ·辅教导学 · 不用平面法向量求二面角的简单方法 文卫星 (上海市七宝 中学，201101) 立体几何较难 的是求二面角的平面角 ，传统 BQ，BP两两垂直． 的综合法作二面角较难，空间向量的方法写起来 以B为坐标原点，分别 繁，同时，求二面角的大小需要判断是锐二面角还 以BA，BQ，BP所在直线为 是钝二面角，有时要依赖观察，但在复杂的立体图 X轴 ，Y轴 ，z轴，建立如图2 中，要准确判断有时是困难的．本文结合2013年高 所示的空间直角坐标系，设 考题 ，给出一种不依赖于求两个半平面法向量的 BA — BQ — BP 一 2，则 求二面角的方法 ，且计算量相对于求法 向量来说 F(O，0，1)，C(O，1，O)． 也不大． 由(I)知 AB 上 平面 PBQ，因AB ／／GH，所 以 图2 如图1，设点A，C分别是二 面角a—Z一口的棱Z上的两点 ，点 GH 上 平 面 PBQ，所 以 CHF 就是 二面 角 B，D分别在半平面 a，口内，且 D-GH-E 的平面角，设 CHF 一 ． AB上z，cD上z，则 与面 (或 在直角坐标系 yB=中，直线 尸C的方程为Y+ 与 )所成的角就是二面角 的平面角． 图1 一 1，直线FQ的方程为等+z=1，解得Y—z 这种方法就是要分别过两个半平面 内的点 一 号，即H(o，号，号)．帝一(0~--号，÷)，一 (两点在棱上时可以重合)作与棱垂直的向量，这 两个向量所成的角就是二面角的平面角．下面举 ， 一 刚 一 斋 = 例说明这一方法的应用． 2 2 例 1 (2013年山东理)如图2所示，在三棱锥 1 一一 P-ABQ中，PB上平面ABQ，BA —BP—BQ，D， 5’ C，E，F分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，AQ 一 9 2BD，PD 与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连 即二面角D-GH—E的余弦值一善． 接 GH． (I)求证：AB ／／GH； 本例正好作 出二面角的平面角，相比较求两 (Ⅱ)求二面角D-GH-E的余弦值． 个平面法向量的方法要简单的多． 解 (I)证明：因为 D，C，E，F分别是AQ， 例 2 (2013年大纲版理)如图3，四棱锥 P— BQ，AP，BP的中点，所 以EF／／AB，DC／／AB，所 ABCD 中， ABC= BAD = 90。，BC一 2AD， 以EF ／／DC． △PAB与 △PAD都是等边三角形． 又EF (2=平面 PCD，DCc 平面 PCD，所 以 EF ／／平面 PCD． 又EFc平面 EFQ，平面 EFQn平面 PCD — GH，所以EF ／／GH ，又EF ／／AB，所以AB ／／ c B GH ．