附录2无限大平板含扁椭圆孔的问题..doc

附录2 无限大平板含扁椭圆孔的问题 A2.1保角变换，曲线坐标中的复势、应力和位移 如果是解析函数，并且，我们利用关系式 (A2-1) 所作的变换即为保角变换. 通过保角变换，总可以把z平面上形状复杂而不易求解的单连域S(边界为L), 通过一个正则函数，映射为平面（数学平面）上的另一条形状较为简单的曲线，从而使问题的求解变得简便和可能. 设, . 在平面上每给定一点，平面上必有一点跟它相对应. 这样，在平面上每给定一根曲线, 平面必有一根对应的曲线(图A2-1). 在相应的两曲线上各截取相应的一小段()和(), 则有 . (A2-2) 图A2-1 其中和分别为和的辐角的主值. 由(A2-1）, 有 . (A2-3) 由(A2-2), . (A2-4) 式中 , . 可以看出, J和?的物理意义分别如下：J是保角变换时，z平面上微元线段变换为平面上线段的尺寸放大(或缩小)系数；而是表示z平面上微元线段变换到平面上微元线段时旋转的角度. J和?皆是点的函数，即与有关. 但对于指定点, J和?是完全确定的. 显然?即为曲线const的切线(向着增加的方向)与z平面x轴之间的夹角(此时)，而曲线const的切线(向着增加的方向)与z平面x轴之间的夹角为. 同时对于const和const上的微元线段和有 , . 这样便建立了对应于z平面上各点的曲线坐标(梁昆淼, 1978). 由(A2-4)得到， 因此 . (A2-5) 利用局部坐标变换，得到曲线坐标中各应力分量与直角坐标中应力分量的关系， (A2-6) A2.2无限大平板中椭圆孔受均布作用力的问题 A2.2.1 椭圆坐标系 具有椭圆孔的无限域的问题由Stevenson(1945)在椭圆坐标系中解得. 应用椭圆坐标系，定义为 , . 则 . 由此得出 (a) 坐标为常数，令表示直角坐标系中的椭圆孔. 椭圆孔的方程为 . 或写成参数方程为 ， . 若椭圆的半径给出为a和b, 则应有 ， . (b) 可以求得和c. 当逐渐变大时，以为参数所表示的椭圆也逐渐变大. 当时所代表的是无限大的椭圆. 当参变量从x轴正向由零到时, 任一椭圆上一点就绕椭圆一周(此时=const). 根据式(a), 任意给定一对参数和，在平面中就对应一个点，因此也称、为平面上点的椭圆坐标，分别相当于极坐标中的和. 位移和应力分量的连续性要求这些分量在方向是周期性的，周期为，使当和时，这些分量有相同的值. 因此可能选取下列形式的复应力函数 (c) 其中n为整数. 另外，函数也适合单值条件，因此也可以作为复应力函数. A2.2.2无限大平板中椭圆孔受单向拉伸问题 无限大平板中椭圆孔，受远场均匀拉力作用，椭圆的长短轴各为2a和2b,与x轴夹角为 (图A2-2)(本书采用了与弹性力学一致的符号标注习惯, 与岩石力学的标注有所不同). 该问题由Inglis(1913)推导了各种条件的应力和位移. 设坐标系是将坐标系转动角使其与拉力平行的直角坐标系，于是由坐标变换， 边界条件为，在无穷远处 . 因此，在无穷远处 ， . (a) 图A2-2 无限大平板中椭圆孔受单向拉伸的问题? 为了和有关文献在表达上一致，这里取, 柯洛索夫公式成为 (A2-7) 由(A2-5), 其中 . (A2-8) 将(a)式代入(A2-7)得当时， ， 在椭圆孔边界上，即时应有 取 (A2-9) 可以验证满足所有边界条件. 可以由(A2-7)中的第三式求出相应的位移，并且位移是单值的. 由(A2-7)求出孔边的环向应力为 . (A2-10) 或利用(b)式, 得到 . (A2-11) 这里特别讨论的情形，此时拉力作用方向和椭圆长轴方向垂直，孔边的应力(A2-10)可写为 . (A