化归思想在三角函数中的应用..doc

化归思想在三角函数中的应用 海南省农垦中学 陈剑 摘要：三角函数是高中非常重要的函数之一，是描述一般周期函数的基石，三角函数是数形结合的产物，它在复数，解三角形有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。 ,函数与方程的思想,分类讨论思想数形结合思想等都是化归思想的具体表现, 难 转化（化归途径） 易 还原 注释：把问题A通过一定的手段进行转化，归结为问题B，而问题B是相对容易解决的问题或已有固定的解决程式的问题，且通过B的解决，能够得到A的解决。 化归思想在三角函数中应用非常普遍，下面用几个例题来探讨化归思想方法在三角函数中的应用.. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值. 评析:我们已经对三角函数的公式很熟悉，根据所求的三角函数的角化归与已知三角函数值的角的关系，即，将所求的角用已知的角关系代换，最后利用差角公式和诱导公式求解问题，这是一种常见的基本类型，整体思想的运用。 解：（Ⅰ）因为，所以，于是 （Ⅱ）因为，故 所以 例2、已知求的值． 评析：本解的解法是将目标中的角化归为已知角的余弦来解，当然本题还有其它解法，比如也可以从条件进行转化出发来解．将结论中的未知角化归为条件中的已知角时，要用到整体思想，注意观察不同角之间的相互转化，千万不要化简为繁． 解：可先将目标进行化简， ===，下面分别求，运用诱导公式= 又，再次运用诱导公式与倍角公式， ． 二、将求角化归为求三角函数值 例3、（2008年江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为。 求的值； （2） 求的值。 评析：先由已知条件得，第（1）问求的值，运用正切的和角公式；第（2）问求的值，求角化归为求出的值，再根据范围确定角的值。 解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知， 因故，从而 同理可得 ，因此. 所以=; （2）, 从而由 得 . 例4、已知是方程的两根，且 （ ） A． B. C. 或 D. 评析：在这类将求（证）角的问题化归为求三角函数值的问题后，一定要考虑到角的取值范围，即三角函数的定义域，否则容易产生增根． 错解：由韦达定理求得则 因为 所以 选（ C ）， 解析：上述错解原因是没有考虑到由①②得到这两个隐含条件 ，因为这时 正确答案为选（ B ）． 三：化多角的形式为少角的形式 例5、在锐角△ABC中,若， .求证:. 评析:本题题设条件中有6个字母A、而求证中只有3个字母,因此,解题的过程实上就是把6个字母化归为3个字母的过程. 证明:由得 所以, 所以, 所以.把已知条件代入转化为的关系得: 为求需两边同除以得: 用,，代换可得: . 即　. 四、将三角函数类型化归为基本三角函数或形如的形式，结合图像分析性质。 分析近几年的高考试题，此种类型的题目无论在选择题，填空题，解答题，出现的频率非常之高，有关三角函数的定义域与值域问题，最值问题，单调性,周期性等性质的研究，通常借助化归思想，如：化高次为低次或化归成　（设）等结合考察，借助于此函数的性质研究所求函数的性质。下面通过高考试题揭示此种类型题目的本质。 例6、（2008天津卷）已知函数的最小正周期是． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合． 评析：本小题主要考查将函数化归为结合高次化归低次，特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力． （Ⅰ）解： 由题设，函数的最小正周期是，可得，所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，． 当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为． 例7、（2009年山东理科卷）)设函数f(x)=cos(2x+)+sinx. 求函数f(x)的最大值和最小正周期. 设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，，且C为锐角，求sinA. 评析：本题主要考查三角函数中化归思想，高次化低次结合两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系. 解: （1）f(x)=cos(2x+)+sinx.= 所以函数f(x)的最大值为,最小正周期. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）==－, 所以, 因为C为锐角, 所以, 又因为在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m . 五、部分三角函数的最值问题可化归为二次函数最值问题、有几何意义的最值问题 化归既可以用于沟通数学各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方法和技术，从微观上解决多种具体问题。 例8、（2008年