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加速迭代格式的构造 任中贵，潘状元 （哈尔滨理工大学 应用科学学院，黑龙江 哈尔滨 15008 摘要 关键词 中图分类号： 文献标识码：A 文章编号: T Acceleration Method for Newton’S Method at Singular Points REN Zhong-gui , PAN Zhuang-yuan (Applied Science College, Harbin Univ. Sci. Tech., Harbin 150080, China) Abstract: ：The acceleration method is discussed，the convergence is proved and the error estimation is given．The example shows that its convergent rate is good．Key words ：singular point；acceleration method；convergence． , 其中 ，，。它以一个近似雅可比矩阵为初值，每次迭代都对这个矩阵进行更新。初始雅可比近似可取点处的精确雅可比矩阵，当然，为了避免导数计算，也可取为单位矩阵。算法如下： Broyden法算法 {更新近似雅可比矩阵} end 摘要: 　对于求解非线性方程组F (x) = 0 的Broyden 秩1 方法的计算格式提出一种修正算法, 尝试利用矩阵的奇异值分解求解迭代方程组, 并且配合使用加速技巧, 从而大大提高了算法的安全性和收敛速度. 数值算例表明了新算法的有效性. 关键词: 　Broyden 方法; 加速技巧; 奇异值分解 Matlab符号对象在求解多维非线性方程组中的应用研究 本课题 自著名的Newton--Kantorovich定理问世以来，以Newton法为代表的一 类迭代法求解非线性方程的研究有了很大的发展并已取得了一系列丰硕成果， 已成为非线性问题近似求解的最重要方法之一。映射，假定为方程 的解。若不可逆，我们称为奇异问题。一方面奇异非线性方程有许多实际背景。如反应扩散系统、捕食和猎物生物模型、分歧点、优化 问题中鞍点计算等。所以研究此类问题具有重要实际意义。另一方面，许多数值方法都是针对非奇异问题讨论其收敛性、收敛速度、迭代格式的形态等，对于奇异问题讨论其解点附近的性态，对非线性问题的研究在理论上也是一种完善。 1966年，L．B．Rall首次提出：一元实函数情况下，Newton法在奇异点处能达到平方收敛. 1970年，Cavanagh假设F在处的某一个去心邻域非奇异，将Rall的结果推广到了一般空间E。然而，要保证奇异情况下的收敛条件十分严格，实际应用价值很低。1978年，G. W .Reddien放宽了这个条件，提供了Newton法的可行性， Griewank和Osborne又进一步给出了几何解释。1983年,Decker和Suresh首先修改了Newton法，得到了相应的收敛性及超线性收敛率。为得到更好的收敛效果，Decker和Kelley也改善了Newton法，加速了零空间的收敛速度，使它达到和非奇异情况一样的平方收敛。为了得到更一般性的结果，1980年，Decker和Kelley将Reddien的结果推广到了零空间为有限维的情况。之后他们与Keller等人进一步研究了在有限维零空间情况下的Newton方法的收敛性及误差估计，并且Decker、Keller及潘状元等人又修改了Newton方法，使它们无论在零空间还是值域空间都能达到平方收敛。 显然，Newton法在求解非线性方程的过程中起到了非常重要的作用，但是人们仍然要研究如何构造一种新的迭代格式，以减少计算量获得较高收敛阶。1983年， Decker和Kelley研究了零空间为一维时的chord法，得出相应的收敛性及收敛速度为次线性收敛，1990年，杨忠华结合外推技巧构造了新的迭代格式，在计算量基本相同的情况下，收敛速率却比chord法快得多，但它仍是次线性收敛。潘状元又做了改进，加快了收敛速率，并将零空间为一维推广到有限维。在此基础上，我将根据各种迭代格式（如King-Werner方法、拟Newton方法、Moser方法等），构造出求解奇异问题的新的迭代格式。 三、课题主要研究内容 主要有以下几方面研究内容：Decker C T和Suresh R给出的迭代格式：