解耦控制问题中矩阵论的应用..doc

矩阵论小论文 学院：自动化与电气工程 专业：控制科学与工程 班级：研1204 姓名：石宪红 学号：2012210171 解耦控制问题中矩阵论的应用 摘要：所谓的解耦控制问题就是寻求适当的控制规律，使得多输入多输出闭环系统中的每个输出仅有一个输入所控制，这样就把一个多输入多输出系统化成了的多个独立的单输入单输出系统，从而实现自治控制。在此主要论述矩阵论在线性系统理论中状态反馈动态解耦的相关应用。 能解耦性定义： 设有多输入多输出系统 其中： 引入如下假设条件： 且即传递函数为严格真有理分式。 控制规律采用输入变换加状态反馈的形式。即 其中为的状态反馈阵。为输入变换阵。 输入变换阵为非奇异，即 此时可将闭环系统简记为：且传递函数为： 如果存在某个阵，使闭环传递函数为如下形式的非奇异对角阵 则称这样的受控系统是完全解耦的。 实现完全解耦后： （） 二、传递函数矩阵的两个特征量 1定义：为的传递函数矩阵，为它的第个行传递函数向量，并有 定义： 的第一特征量定义为 显然，当给定后为唯一确定。 的第二特征向量定义为： 它是的常量行向量。 2 一些基本属性 如果的相应的状态空间描述为,且为的第个行向量，则有 对于任意的矩阵对,其中，状态反馈闭环系统的传递函数矩阵的第个行传递函数向量可表为： 三、 可解耦条件： 线性定常受控系统 可采用状态反馈和输入变换即存在 矩阵对{L，K}进行解耦的充分必要条件，是如下常阵 推论： （1）受控系统 能否可采用状态反馈和输入变换来实现解耦，唯一地决定于其传递函数矩阵G(s)的两组特征向量和（）。从表面上看，与系统的能控性和能镇定性无关，但从解耦后的系统要能正常运行,并具有良好性能而言，仍要求受控系统是能控的，或至少是能镇定的。 （2）为了判断受控系统能否可采用状态反馈和输入变换来实现解耦，既可从系统的传递函数矩阵描述来组成判别矩阵E，也可从系统状态空间描述来组成判别阵E。 对于一个可解耦的受控系统，当选取{L，K}为： 时，必可使系统实现解耦，且解耦控制系统的传递函数矩阵为： 四、 确定解耦控制矩阵对{L，K}的算法 给定受控系统： 其中，dim(u)=dim(y)=p, {A,B}为能控。再规定以实现解耦为主要综合目标，同时对解耦的每一个单输入—单输出控制系统要实现期望的极点配置。 第一步：计算和。 判断是否为非奇异。若是可解耦。否则不能解耦，退出计算。 第二步：计算 第三步：取 第四步：判断能观测性，若不为能观测，计算： 第五步：引入线性非奇异变换，把变换为如下的解耦规范形： 其中，虚线分块化表示按能观测性的结构分解形式，当为能观测时,中不出现不能观测部分。 进而有： 第六步：由和定出变换阵T，对和为能控能观测情形，基于关系式： 再表 第七步：对解耦规范形。引入状态反馈来实现解耦控制和解耦后的单输入—单输出控制系统的极点配置。状态反馈增益矩阵取为如下形式的常阵。 并且，由此可导出 和 表明：的结构形式保证了解耦控制的实现，而的元则由解耦后的第 i个单输入—单输出控制系统的期望极点组所决定。 第八步：对于所讨论的受控系统，使其实现解耦和对解耦后各单输入—单输出系统进行期望的极点配置的{K，L}为 例题：给定双输入—双输出的线性定常受控系统为： 解：先求出系统的能控矩阵 显然为能观测，且已处于解耦规范形，所以无需作进一步变换 T=I。 解耦后单输入—单输出系统的期望特征值为： 应用总结： 在本文中就能够明显的看出，化矩阵为其对角阵，化矩阵为其约当标准型、矩阵的逆运算、矩阵的秩运算以及矩阵之间的相关运算等都用到了矩阵论的相关知识。 矩阵论和线性系统理论有着紧密的联系，线性系统理论的各种理论、各种实践研究都是以矩阵论相关知识为支撑。线性系统理论的深入发展必能促进矩阵论的进一步的研究，矩阵论的发展必能有利于线性系统理论的研究。