浅谈圆锥曲线动点的轨迹方程问题的求解方法..doc

浅谈圆锥曲线动点的轨迹方程问题的求解方法 高中数学中的解析几何中是一个极其重要的内容，它涉及到代数，几何，三角等多方面的知识，这一内容的学习，是学生对数学知识更加深入的了解，是在初等数学中重点体现数学思维的过程，是同学们对数学的理解发生质的变化的时刻。 其中，对于圆锥曲线中求动点的轨迹问题是练习、考试中经常出现的，而同学们也对此还没有完全掌握，对此类题没有系统的分析，归纳，不容易下手。本文就重点对于该问题进行探讨，归纳总结出对于求动点的轨迹问题的一般方法。 直接法 当题目条件已经给出或者可以得到有关动点的等量关系时，可以直接设所求动点为，然后根据题设条件，利用基本公式等列出等量关系，从而得到轨迹方程。 这是探求轨迹方程最基本的方法。 【例】求与直线的距离等于5的点的轨迹方程。 设动点 P到直线l的距离为5 ，即或者 所求的轨迹方程为或者 定义法 当问题可以转化为动点满足的条件与圆锥曲线的定义或与平面几何中的基本轨迹所满足的条件基本接近，可以通过对题目条件做必要的转化，使用定义完成求轨迹方程。 【例】动圆与定圆C1： 和C2：都外切，求动圆圆心的轨迹方程。 解：定圆的圆心为，半径,定圆圆心，半径，设动圆圆心，半径为。依题意，得。 由双曲线的定义，知动点P到定点的距离之差为定值。 所以动点的轨迹是抛物线，双曲线的中心在的重点.焦距，所以 又。所以双曲线的方程为 转移法（代入法） 当所求动点M随另一动点N的变化而变化，而N点在已知曲线上运动，且M,N两点坐标关系比较直接，可以将求M点的轨迹方程转移为求N点的轨迹方程，再利用两者的关系代入，间接得到M的轨迹方程。 【例】一动点A在圆上移动时，求它与定义的连线中点M点的轨迹方程 解：，AB中点M的坐标为 则有， 所以，代入，得。即为轨迹方程。 复数法 与转移法类似，只是当M,N两点恰好为某一特殊多边形的其中两顶点时，可以用复数的方法解决问题。 【例】已知点P是抛物线上任意一点，O是坐标原点，以OP为一边按逆时针方向做正三角形OPQ，求三角形OPQ的重心G的轨迹方程。 解：设，由题设以及复数乘法的几何意义可知 又点在抛物线上， 化简得， 参数法 当所求动点M随N点的变化而变化，N点恰在已知曲线上运动，但M，N的关系不直接，并且动点M随某个量变化而变化时，可以 通过选择合适的量作为参量，把M点的坐标用参量表示，再消去参数即可得到动点的轨迹方程。参数法是求轨迹方法的重要方法。 【例】已知椭圆，它的平行弦所在直线的斜率为k（定值），求这些平行弦中点的轨迹。 解：设平行线方程为。。。①，将它代入椭圆方程并整理，得 设平行两端点分别为，弦中点为，则。。。②，代入①得，。。。③，由②、③消去参数m得 所以，所求轨迹为直线被已知椭圆所截得的线段，不包括两端点。 交轨法 当所求动点M恰好为两动曲线的交点并且两曲线随着某参量的变化而变化时，可以选用合适的参量，在写出只含有参量的两动曲线的方程的基础上，消去参量即可得动点的轨迹方程。 【例】已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线,设长为的线段AB在直线l上移动(A在B的左下方)，求直线PA和QB额交点M的轨迹方程。 解：由于A点在上，故可设。当时，直线PA的方程为，直线QB的方程为，由（1），（2）消去t，得到M点的轨迹方程为，而当时，所得M点也满足方程。 极坐标法 当题目涉及的有关线段有公共的一个端点，且这个端点为直角坐标的原点或者圆锥曲线的焦点等时，我们可以建立极坐标系，写出动点的极坐标方程。若有需要，可以继续转化为直角坐标系下的轨迹方程。 【例】如图，给出定点和直线，B是直线l的动点，的平分线交AB于C，求点C的轨迹方程。 解：以O为极点，OX为极轴建立极坐标系。设C点的坐标为，设直线l和x轴交于点D，则. 又，所以 即 化为直角坐标方程得 所以，C点的轨迹方程为  1