如何帮助与实现自然语言与符号语言的转换..doc

发表于《中学数学教学参考》2008年8期 如何帮助学生实现从直观到抽象的跨越？ ——由函数单调性的教学设计引发的思考 南京市江宁高级中学 张格波 211100 在函数单调性的教学中，教师通过创设情境——展示气温图象，一次函数、二次函数、反比例函数的图象，学生很容易从图形直观上升到自然语言叙述——x增大，y增大（减小）。困难就在于如何由自然语言抽象为符号语言，这是本节教学难点。最近本人听了这节课，课后又认真翻阅了相关杂志。 在我比较的几个教学设计中，教师都提出了以下的问题：如何用精确的数学语言刻画函数的上述特征呢？但在帮助学生实现从直观到抽象的跨越，建立数学概念时，不同的教师出现了不同的方案。笔者不禁就想：如何帮助学生实现从直观到抽象的跨越，从而建立数学概念，突破教学的难点。 1．片断回放与及其辩析反思 1．1一个定义，几点注意式的教学设计 （1）问题：怎样用数学语言刻画上述函数图象的特征呢？ （2）教师直接给增函数的数学定义 （3）师生进行定义剖析，提出以下注意点：①注意函数的单调性是对某个区间而言的；②特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意、都有”这几个关键词；③关注几何特征，单调增?图象从左向右连续上升，单调减?图象从左向右连续下降。 [辩析与反思] 这种教学设计将教学的重点放在单调性的强化练习与应用上了，试图通过强化练习来巩固和加深对概念的理解。显然这种处理方案没有让学生体悟到概念发生的过程，从而这种符号化、形式化的数学表达：“当x1x2时，f(x1)f(x2)”,就像天上掉下的一样，学生会感到十分突然，感到莫明其妙，更无从知道“所以然”了。虽然老师反复提醒学生要注意“任意、都有”这些关键词，学生却会想：为什么“任意、都有”是关键词？而其它的就不是呢？没有“任意、都有”会怎样呢？长时间如此，就势必会使得一部分学生认为数学是一堆公式、定理、法则的组合，是聪明人的文字游戏，从而降低对数学的兴趣。同时，我们也要认识到，正是由于缺失了知识的发生过程，学生的抽象概括能力也就失去了锻炼的机会。也许有人会认为自然语言与符号化语言的距离太大，学生很难跨越，与其浪费时间，不如经过应用来深化对概念的理解。但我想不能因为难，就望之却步，实际上就因为学生缺乏这方面的锻炼，缺乏概念形成中的火热思考、思维碰撞，才会使之抽象、概括、构建新表征的能力差，才会感到困难。因此，无论是从对概念的实质性理解，数学观念的形成，还是数学能力的发展而言，缺乏概念发生过程的教学设计都是不恰当的。 1．2 着眼于“比较”的教学设计 （见文[1]） （1）问题：怎样用数学语言刻画上述函数图象的特征呢？ （2）让学生对“增大”的词义进行讨论理解。 （3）让学生从“增大”的词义产生数值“对比”的思想。 （4）让学生尝试用数学符号表示两点数值的对比，得出定义 （5）结合图象体验两点的任意性 [辩析与反思] 在本设计中，老师借助于对“增大”这个词义的关注与解释，引出比较的思想，然后启发学生用对比的、比较的思想来观察图象直观规律，把图象的连续变化转化为两个任意间断点的数值比较，降低了思维的难度，立足于学生的最近发展区，有效地实现了两种语言的联接。这种教学设计是有效的，也是自然的，因为单调性本身刻画的就是一种变化趋势，就蕴涵数字比较。但我们不禁也会去想，“增大”意味着“要比较”，那就一定要用两个任意性的字母x1、x2去比较吗？从这种意义上讲，这种教学设计似乎没有把握问题的关键。比较是应该有的，但比较不能是具体数字的比较。其实在单调性的教学中还有一点要注意的：就是把连续变化转化为“任意两点”的原因是什么？怎样让学生感受到？因此从这个角度看，本设计留下了遗憾。 1．3着眼于“任意性”的教学设计（见文[2]） （1）问题：如何用准确的数学符号语言来刻画“函数y=f(x)=x2在区间（0，+?）上，y随着x的增大而增大？ （2）引导学生判断：①因为12时，f(1)f(2)，所以f(x)=x2在区间（0，+?）上为单调增函数，可以吗？ ②因为12345…时，f(1)f(2)f(3)f(4)…，所以f(x)=x2在区间（0，+?）上为单调增函数，可以吗？ ③因为取无数个x1x2x3…时，f(x1)f(x2)f(x3)…，所以f(x)=x2在区间（0，+?）上为单调增函数，可以吗？ （3）师生共同总结出单调增函数的定义 [辨析与反思] 该设计一开始就把“增大”默认为比较，而把重点放在让学生通过判断来体会任意性上了，从而抓住了问题的重点。可以设想，学生经过这样的辩别后，对定义中的“任意、都有”就有了感性的认识，从而便于理解，构建新的概念。如果教师此时能进一步提问：怎样才能让自变量取遍整个区间呢？难道真要一个个地列举下去？学生马上就会反应出来——既不必要，也不可能。教师再点拨一下：那怎么办