实验四函数的迭代混沌与分形..doc

实验四 函数的迭代、混沌与分形 [实验目的] 1. 认识函数的迭代； 2. 了解混沌和分形. 迭代在数值计算中占有很重要的地位,了解和掌握它是很有必要的.本实验将讨论用Newton迭代求方程根的问题,以及迭代本身一些有趣的现象. §1 基本理论 1.1 迭代的概念 给定某个初值,反复作用以同一个函数的过程称为迭代.函数f(x)的迭代过程如下: x0,x1=f(x0),x2=f(x1),……..,xn=f(xn-1)….., 它生成了一个序列{xn}迭代序列. 许多由递推关系给出的数列,都是递推序列.例如数列. X0=1,xn=1+1/(1+xn-1) (n=1,2,…………..) 是由函数f(x)=1+1/(1+x)=(2+x)/(1+x)取初值为1所得的迭代序列. 1.2 迭代序列的收敛性 定理 设函数f(x)满足: 对任意x(a,b),f(x)(a,b); f(x)在(a,b)内可导,且存在常数L使得|f(x)|=L1, 则当初值x0 (a,b)时,由f(x)生成的迭代序列收敛. 在迭代函数f(x)连续的条件下,如果迭代数列收敛,则它一定收敛于方程x=f(x)的根.该方程的根也称函数f(x)的不动点. 设x*为f(x)的不动点,f(x)在x*的附近连续,若|f(x*)|1,则称不动点x*是稳定的;若f(x*)=0,则称不动点x*是超稳定的.在超稳定点x*附近,迭代过程xn+1=f(xn)收敛到x*的速度是非常快的. 1.3 Newton迭代法 设函数g(x)具有一阶导数,且g(x)0,则函数f(x)=x-g(x)/g(x)的迭代称为Newton迭代,若函数f(x)存在不动点,则它一定是方程g(x)=0的根,故Newton迭代法可用来求方程g(x)=0的根. §2 实验内容与练习 2.1 迭代的收敛 对于函数迭代,最重要的问题是迭代序列的收敛性.一般说,迭代序列是否收敛取决于迭代函数与初值. 表4.1 Newton 法求方程的根所得的迭代序列 迭代次数n 迭代序列xn 迭代次数n 迭代序列xn 1 6.17647 1.90007 11 16.9884 0.400463 2 7.5641 1.43369 12 16.9954 0.400185 3 9.85437 0.968319 13 16.9981 0.400074 4 12.5529 0.661453 14 16.9993 0.400030 5 14.7125 0.509988 15 16.9997 0.400012 6 15.9668 0.444765 16 16.9999 0.100005 7 16.5642 0.418018 17 17 0.400002 8 16.8218 0.407224 18 17 0.400001 9 16.9281 0.402892 19 17 0.4 10 16.9711 0.401157 20 17 0.4 作为一个例子，我们用来讨论用Newton迭代法求函数g（x）=（x-17）5/3（x-5）-2/3的根，其Mathematica程序为： Clear[g，x]； g[x_]：=（x-17）^(5/3)*(x-5)^(-2/3); f[x_]=Factor[x-g(x)]/D[g[x],x]]; x0=5.5;n=20; For[i=1,i=n,i++, x0=N[f[x0]]; Print[i,” “,x0,” “,D[f[x],x]/.x-x0] ] 执行结果见表4.1. 表4.1的结果说明迭代序列收敛于g(x)的零点17.我们注意到程序中取的迭代处值为5.5,如果其它的数作为初值,所得的迭代序列是否收敛于17呢?我们可以取其它初值做实验,结果得到表4.2(表中第三列是迭代序列的前6位有效数字首次为17.0000的步数). 表4.2 取不同初值的收敛情况 初值 收敛性 收敛到17的步数 初值 收敛性 收敛到17的步数 -40000 收敛于17 16 5 收敛于5 19 -500 收敛于17 16 5.1 收敛于17 17 -20 收敛于17 16 6 收敛于17 12 0 收敛于17 17 20 收敛于17 12 4 收敛于17 17 100 收敛于17 14 4.9 收敛于17 19 1000 收敛于17 14 从表4.2中可看出,只要初值不取5,迭代序列都收敛于17,且收敛速度与初值的选取关系不大. 前面程序中使用的f(x)为g(x)的化简过的Newton迭代函数,用Mathematica命令可检查出它为(25x-85)/(x+3)(注意,这