线性空间的应用..doc

线性空间的应用 1.Durer 魔方 1514年，德国著名的艺术家Albrecht Durer（1471-1521）曾铸造过一枚名为的铜币，这枚铜币的画面充满了数学符号、数字及几何图像。这里，我们可以看一下铜币右上角的数字问题，这是一个自然数组成的方块（可以看作一个矩阵），称之为 Durer魔方（如果一个数字矩阵，它的每一行，每一列，每一对角线以每小方块上的数字相加）。其形式为 此魔方中，每行、每列、对角线上的数字加在一起其和为34，若用水平线盒垂直线把它四个小方块每个小方块的数字和也是34，若把四个角上的数字相加，其和仍是34。另外15，14排在最后一行，正好是铜币的铸造时间。 我们可以经过一些换行、列的交换，通过旋转，通过中间轴和对角线的映射，得到一些新的Durer魔方，那么有多少个可定义的Durer魔方？。 若我们把每一个Durer魔方看成是一个矩阵，那么Durer可实行矩阵的数乘、加法运算。因此，可以通过已知的Durer魔方进行线性组合，构成新的Durer魔方，所有Durer魔方构成一个线性空间，记为V。V显然是一个有限维的线性空间。我们容易证明是其一组基，这样我们就可以用 的线性组合来表示Durer魔方，例如 改变对Durer魔方数字和的要求，我们可以利用线性子空间的定义，构造V的子空间或者包含V的子空间。例如求行和，列和及两条对角线上的元素和相等，得到8维线性空间Q，基向量为，其中是V的基，而 例如： R=C=D=30 V是Q的7维子空间。例如要求列和、行和及每条主、次对角上数字和都相等，得5维向量空间B H=N=R=C=46 其中H为主对角线和，N为次对角线和，B的基为  Botsch于1967年证明了可以构造大量的V子空间或V的扩张空间，对于1—16之间的每一个数K，都存在K维方阵构成的线性空间。 2.向量在的调整气象观测站问题中应用 某地区有12个气象观测站，10年来各观测站的年降水量如下表。 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 x12 1981 276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2 1982 251.6 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451 466.2 307.5 421.1 455.1 1983 192.7 436.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357 353.2 1984 246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327 296.5 423 1985 291.7 311 502.4 254 245.6 324.8 401 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1 1986 466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7 1987 258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6 1988 453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2 1989 158.5 271 410.2 344.2 250 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7 1990 324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1 为了节省开支 ，想要适当减少气象观测站。 问题：减少哪些气象观测站可以使所得降水量的信息仍然足够大？ 解：用 分别表示气象观测站在1981-1990年内的降水量的列向量， 由于 是含有12个向量的十维向量组，所以该向量组必然相关。 若能求出一个最大无关组，则最大无关组所对应的气象站就可以将其他气象站的资料表示出来，因而其他气象站就是可以减少的。因此，最多只需要10个气象观测站。 由 为列向量组作矩阵A，可以求出一个最大无关组： 故可以减少第11和12个观测站，可以使得到的降水量信息仍然足够大。当然，也可以减少另外两个观测站，只要这两个列向量可以由其他列线性表示。 注：如果确定只需要8个观测站，那么我们