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引起中毒和致命的最小剂量模型 黄厚梅 0907021033 09级数学（1）班 摘要：本文主要是研究氨茶碱片导致孩子和成人引起中毒和致命的最小剂量问题，由已有的“药物中毒施救模型”，结合极值与导数的关系，建立微分方程模型。根据此模型解得导致孩子和成人引起中毒和致命的最小剂量及相应时间，进而得出：血液系统浓度达到最高时，t=7.89h，及此时刻相应的最小剂量。 关键词：极值 分离变量 MATLAB 正文 1问题的提出 根据已有的药物中毒施救模型，探究服用氨茶碱片导致小孩及成年人引起严重中毒和致命的最小剂量问题。 2变量说明 变量符号 变量含义及单位 胃肠道中的药量 血液系统中的药量 胃肠道中药物向血液系统的转移率与药量间的比例系数 血液系统中药物向血液系统的转移率与药量间的比例系数 服用药物的总剂量 时间 3合理假设 3.1胃肠道中药物向血液系统的转移率与药量成正比，比例系数记，总剂量的药物在瞬间进入胃肠道； 3.2血液系统中药物向血液系统的转移率与药量成正比，比例系数记,在时候血液中没有药物； 3.3氨茶碱被吸收的半衰期为5 ，排除的半衰期为6 ； 3.4孩子的血液总量为2000 ，成人的血液总量为4000 。 4模型建立 ，结合书本中已给出的药物中毒施救模型 [1]，得: 由假设3.1，知。随着药物从胃肠道向血液系统的转移，下降的速度与本身成正比（比例系数），所以满足微分方程： （1） 由假设3.2，知：，药物从胃肠道向血液系统的转移相当于血液系统对药物的吸收，由于吸收作用而增长的速度是，由于排除而减少的速度与本身成正比（比例系数），所以满足微分方程 （2） 此时方程中的参数可由假设3.3中的半衰期确定。 5模型求解 微分方程（1）是可分离变量方程，由常微分方程的知识容易得到： （3） 表明胃肠道中的药量随时间单调减少并趋于0。为了确定。利用药物吸收的半衰期为5，即 ， 得： 将（3）代入方程（2），得到一阶线性微分方程，求解得： （4） 表明血液系统中的药量随时间先增加后趋于0。 为了根据药物排除的半衰期为6h，来确定，考虑血液系统只对药物进行排除情况，这时满足方程： ， 若设在某时刻有：，则 利用：，可得： 将和带入，得（t的单位是：h；x,y的单位是：mg） （5） （6） 根据假设3.4，孩子的血液总量为2000ml，成人的血液总量为4000ml,则有： 5.1针对孩子的求解 它们出现严重中毒的血液浓度100ug/ml和致命的血液浓度200ug/ml分别相当于血液中药量y达到200mg和400mg。有已有知识知道，当函数达到极值时候，它在此时的导数是0，由此我们得到下述方程： 孩子服用氨茶碱能引起严重中毒： （7） 解得： （8） 孩子服用氨茶碱能引起引起致命： （9） 解得： （10） 5.2针对成人的求解 它们出现严重中毒的血液浓度100ug/ml和致命的血液浓度200ug/ml分别相当于血液中药量y达到400mg和800mg。已有知识知道，当函数达到极值时候，它在此时的导数是0，由此我们得到下述方程： 成人服用氨茶碱能引起严重中毒： （11） 解得： （12） 成人服用氨茶碱能引起引起致命： （13） 解得： （14） 6模型检验 利用MATLAB软件，对于 （15） 进行作图观看（见程序1）： 图1 胃肠道中的药量、血液系统中