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线代2015年春季基础班讲义.pdf

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线代2015年春季基础班讲义

第一章行列式一、逆序数逆序数定义一个排列中如果一个大的数排列在一个小的数之前,就称这两个数构成一个逆序．一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数．用τ(j j ...j ) 表示排列j j ...j 的逆序数． 1 2 n 1 2 n 如：在 6 级排列 365412中,共有逆序31,32,65,64,61,62,54,51,52,41,42，即τ(365412) =11．求一个排列的逆序数有两种方法：从前到后，从小到大．二、行列式的定义 1. 二阶行列式 a a 11 12 a a =−a a ． 11 22 12 21 a a 21 22 1 3 【例 1】计算下列行列式的值． 5 7 1 3 【解】 8 =− ． 5 7 a a a 11 12 13 2.三阶行列式 a21 a22 a23 a11a22a33 =+a12a23a31 +a13a21a32 −a11a23a32 −a12a21a33 −a13a22a31 ． a a a 31 32 33 此法则也称为对角线法则．对角线法则只适用于二、三阶行列式． 3.n 阶行列式定义 a a a 11 12 1n a a a n2 个数a (i,j 1,2,Λ ,n) 排成n 行n 列的方形表 21 22 2n ∑ (=−1)τa a a ij 1j 1 2j 2 n j n j 1 ,j 2 ,j n a a a 1n 2n nn 称为一个n 阶行列式，n 阶行列式是一个数，表示n !项的和，每一项来自不同行，不同列的n 个元素的乘积a1j 1 ⋅a1j 2 ⋅Λ ⋅anj n ，其中j 1j 2 Λ j n 是1,2,L n 的一个排列. 2 x 2x 3x − − − 1 0 x 0 【例 2】在函数 ( ) 4 f x 中，求x 的系数． x 2x 0 2