线性代数--第九讲2014.pptVIP

解 以下说明 V2 对加法运算不封闭。 所以 V2 不是向量空间。 设 例 3 说明 不是一向量空间。 2. 基和维数 定义2 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 且满足： 线性无关； (2) V 中任一向量都可由 线性表出。 则向量组 就称为向量空间 V 的一个基， r 称为向量空间V的维数，并称V是 r 维向量空间。 规定：零向量空间的维数为 0。 1）V的基就是V的最大无关组，V的维数就是V的秩。 2）向量空间 Rn 的维数是 n ,任何 n 个线性无关的向 量都是 Rn 的一个基。 由定义立即可知： 以下直接给出一个结论： 结论 若向量组 是向量空间V的一个 基，则V可表示为 此结论表明，V中向量可用一个统一的式子表出。 3. 坐标、过渡矩阵 定义3 若向量组 是向量空间V的一个 基，则V 中任一向量可表示为 定义4 若 是向量空间 V 的 两个基，且 1,1,-1 U=(2 0 0)在该基下的坐标是 。 解题过程：构造矩阵并作行变换使之变为行最简形。 即知： 则向量 例4 (1) 已知三维向量空间的一个基 。 例5 设 验证 a1 , a2 , a3 是R3 的一个基，并求 b1, b2 关于这个 基的坐标（即用 b1, b2 线性表示）。 解题思路 要证 a1, a2, a3 是R3 的一个基，只要证a1, a2, a3 线性无关，也即只要证 A~E。 而要将 B=(b1 b2 )用这个基线性表示，可设法求出一 个矩阵X，使 B=AX。 注意：这两个问题可用初等变换同时解决。 由前知：若 A 经过行变换变为 E，即有初等方阵 (1),(2)表明:当一系列初等行变换将A变为E时,这一系列初等行变换就同时将B变为A-1B(也即X)。 由此，构造分块矩阵（A｜B），并对之作初等行变换， 使得 下面来解前面的例子 构造分块矩阵 因 A~E，故 a1, a2, a3 为R3的一个基，且 第三章 向量的线性相关性和秩 第*页 关于向量基本概念与定理的回顾 1 基本概念 n 维向量、零向量 、负向量、向量相等、 向量加法、 向量数乘、向量的线性表示、向量组线性相关性、向量组由向量组线性表示、向量组与向量组等价 定理 1 向量组 线性相关 的充要条件是其中至少有一个向量可由其余 m-1个 向量线性表示。 定理 2 设 线性无关，而 线性相关，则 能由 线性表示，且表示式是唯一的。 2 线性相关性的判定定理 定理 3 若 线性相关， 则 也线性相关。 定理 4 设有两个 n 维列向量组 即向量 是把 的第一、二个分量对调而得，则向 量组A与向量组B的线性相关性相同。 定理 5 设有两个列向量组 即向量 是由 添加一个分量而得，若向量组 A 线 性无关，向量组 B 也线性无关。 推论 r 维向量组的每个向量添上 n-r 个分量，成为 n 维 向量组。若 r 维向量组线性无关，则n 维向量组亦线性 无关；反过来，若 n 维向量组线性相关，则 r 维向量组 亦线性相关。 改变向量的个数时，少的相关，多的也相关； 多的无关，少的也无关。 改变向量的维数时，低维无关，高维也无关； 高维相关，低维也相关。 同步改变向量的分量顺序时，线性相关性不变。 定理 6 向量组