函数的增减性及极值.ppt

* 函数的增减性与极值 由函数单调性的定义知： 单调增加 即当 当 单调减少 一、函数的增减性判别法 b a y O x A B ，曲线上升 A a O y b x B ，曲线下降 证 仅证（i）， 定理1 设函数f (x)在闭区间[a, b]上连续， （i）如果在(a, b)内f ?(x) 0， （ii）如果在(a, b)内f ?(x) 0， 则f (x)在[a, b]上单调增加； 则f (x)在[a, b]上单调减少。 （ii）的证明类似。 由拉格朗日定理, 得 即f (x1) f (x2)， 例1 讨论函数 的单调性。 在[a, b]上任取两点x1, x2， 由于f ?(?)0， 因此f (x)在[a, b]上单调增加。 于是f (x2) ? f (x1)0， 不妨设x1 x2 。 例2 讨论函数 的单调性。 导数为零的点和不可导的点都有可能 成为函数单调区间的分界点。 由上可知， 例3 确定函数 的单调区间。 注：若f ?(x)在某区间内的孤立点处为零（或不存在）， 而在其余各点均为正（或均为负），则f (x)在该区间内 仍旧是单调增加（或单调减少）的。 例4 确定 的单调区间。 例5 证明 当x 0时， 则f (x)在[0, +?)上连续，在(0, +?)内 因为仅在孤立点x = 2n?（n为正整数）处 令 证: f ?(x) = 0， 故f (x)在[0, +?)上单调增加。 f (x) f (0) = 0， 极大值与极小值统称为极值。 设函数f (x)在点x0的某个邻域内有定义, 对于该邻域内异于x0的点x , 二、函数的极值 称x0为f (x)的极大（小）值点； 或（f (x) f (x0)）， 则称f (x0)为f (x)的极大值(或极小值） 如果恒有f (x) f (x0)， 于是x sinx . 即x?sinx 0， 从而当x 0时， 定义 函数的极值是一个局部概念，因此，一个定义在[a，b]上函数的在[a，b]上可以有许多极值，且极大值有可能小于极小值。 但驻点和导数不存在的点不一定是极值点。 但f (x)在点x = 0不取得极值。 O x y 通常称为函数f (x)的驻点 因此，极值点只可能是驻点或导数不存在的点。 例如，对函数y = x 3, y ?= 3x 2,x = 0是驻点 使导数f ?(x)等于零的点x0 从图中可以看出，极值点一定是单增区间和单减区间的分界点， 不存在的点。 可以证明：若函数f(x)在x 0 处可导，且在x 0 处取得极值，则这个函数在x 0 处的导数为零。即 因此极值点只能是 和 不存在的点。 (iii) 若在x0的两侧，f ?(x)不变号， 定理2（极值第一判别法） 设f (x)在x0的某邻域内连续， 在该邻域（x0可除外）可导， x0为f (x)的驻点或使f ?(x) (i) 若当x x0 时，f ?(x) 0； 则 f (x0) 是f (x)的极大值； (ii) 若当x x0 时，f ?(x) 0； 则 f (x0) 是f (x)的极小值； 则f (x0)不是极值。 当x x0 时，f ?(x) 0， 当x x0 时，f ?(x) 0， 例6 求 的极值点与极值。 解 用 x =0, x = ，分割定义域成几个小区间 定义域（-∞，+∞） 列表讨论如下: f ?(x） 0 + ? + f (x) 不存在 0 极大值 极小值 x 极大值点: 极大值: 极小值点: 极小值: 且f ?(x0) = 0，f ??(x0) ? 0，则 （ii）当f ??(x0) 0时，f (x0)是f (x)的极小值。 例8 的极值. 定理3（极值第二判别法） 设函数f (x)在点x0处具有二阶导数， （i）当f ??(x0) 0时，f (x0)是f (x)的极大值； 令 得驻点: 由极值第二判别法, x=1时, f (x)有极小值: f (1)=4. 由于 所以,需用极值第一判别法判定: 从而 时, 无极值. 例9 讨论 解： 令 得驻点 极值（n为自然数） （1） 若 为偶数，则 在 两侧不变号， 所以 不是极值点。 当 时， （2）若 为奇数，则当 时， 所以 时，函数取得极大值 极值第二判别法可以推广到下面的一般形式： 定理4 设函数 在 处有 阶导数，且 则（1）当