2002年全国初中数学竞赛试题与答案.doc

2002年全国初中数学竞赛试题 一、选择题 1．设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则的值为【 】 A、 B、 C、2 D、3 2．已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为【 】 A、0 B、1 C、2 3．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于【 】 A、 B、 C、 D、 4．设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、z中至少有一个值【 】 A、大于0 B、等于0 C、不大于0 5．设关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是【 】 A、＜a＜ B、a＞ C、a＜ D、＜a＜0 6．A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A A、 B、 C、 D、a＋b 二、填空题 7．设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根，则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为 。 8．已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则的值为 。 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝ 。 10．如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。 11．满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有 个。 12．某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为 。 三、解答题 13．某项工程，如果由甲、乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？ 14．如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。(1)求证：（2）求证： 16．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。证明：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x 的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？ 2002年全国初中数学竞赛试题 选择题（每小题5分，共30分） 设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则的值为（ ）。 A、 B、 C、2 D、3 答案：A.由题意: 0，且= = =3。 已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为( )。 A、0 B、1 C、2 D、3 答案：原式= [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]= [1+1+4]=3。 如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于( )。 A、 B、 C、 D、 答案：设S矩形ABCD=1。因为E、F是矩形ABCD中边AB、BC的中点， 所以SΔGCF=SΔGBF，设为x；SΔGAE=SΔGBE，设为y。则 ,得2x+2y= . 所以S四边形AGCD= .从而S四边形AGCD∶S矩形ABCD=2∶3. 设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、z中至少有一个值( )。 A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0 答案：由题意:x+y