2004年复变函数及积分变换试题及解答.doc

复变函数与积分变换试题 2004.1.4 系别____1_______班级__________学号__________________姓名___________ 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 得分 评卷人 一、填空（每题3分，共24分） 1．的实部是______，虚部是________，辐角主值是______. 2．满足的点集所形成的平面图形为_______________，该图形是否为区域___. 3．在处可展成Taylor级数与在处解析是否等价？____. 4．的值为________________________________________________； 主值为____________________________________________________. 5．积分的值为________，________. 6．函数在处Taylor展开式的收敛半径是________. 7．设, 则________________，其中定义为________________ . 8．函数的有限孤立奇点___，是何种类型的奇点？________. 得分 评卷人 二、（6分）设，问在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值. 得分 评卷人 三、（8分）设求的值使为调和函数，并求出解析函数. 得分 评卷人 四、（10分）将函数在有限孤立奇点处展开为Laurent级数. 得分 评卷人 五、计算下列各题（每小题6分，共24分） 1．，求 2．求出在所有孤立奇点处的留数 3． 4． 得分 评卷人 六、（6分）求上半单位圆域在映射下的象. 得分 评卷人 七、（8分）求一映射，将半带形域映射为单位圆域. 得分 评卷人 八、（6分）设在内解析，在闭圆上连续，且，证明： . 得分 评卷人 九、（8分）用Laplace变换求解常微分方程： 复变函数与积分变换试题解答 2004.1.4 系别___________班级__________学号__________姓名___________ 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 得分 评卷人 一、填空（每题3分，共24分） 1．的实部是，虚部是，辐角主值是. 2．满足的点集所形成的平面图形为， 以±2为焦点 ，长半轴为的椭圆，该图形是否为区域 否 . 3．在处可展成Taylor级数与在处解析是否等价？ 是 . 4．的值为； 主值为 . 5．积分的值为， 0 . 6．函数在处Taylor展开式的收敛半径是 1 . 7．设, 则 其中定义为 . 8．函数的有限弧立奇点 0 ，是何种类型的奇点？ 可去 . 得分 评卷人 二、（6分）设，问在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值. 解： （2分） 均连续，要满足条件，必须要 成立 即仅当和时才成立，所以函数处处不解析； （2分） （2分） 得分 评卷人 三、（8分）设求的值使为调和函数，并求出解析函数. 解：因，要使为调和函数，则有 即 （4分） 所以 时，为调和函数，要使解析，则有 ， （2分） 所以 即 ，故 （2分） 得分 评卷人 四、（10分）将函数在有限孤立奇点处展开为Laurent级数. 解：的有限孤立奇点为及 （2分） 1）当时 （2分） 2）当 （2分） 3）当 （2分） 4）当 （2分） 得分 评卷人 五、计算下列各题（每小题6分，共24分） 1．，求 解：因在复平面上处处解析 由柯西积分公式知，在内， （3分） 所以 （2分） 而点 在内，故 （1分） 2．求出在所有孤立奇点处的留数 解：函数 有孤立奇点0与，而且在内有如下Laurent展开式： （3分） 故 （2分） （1分） 3． 解：，它共有两个二阶极点，且在实轴上无奇点，在上半平面仅有二阶极点，所以 （2分） （1分） （3分） 4． 解：由三角函数公式 （1分） （2分） 令，则，于是 （1分） 被积函数在内只有一阶极点 ，由公式 故由留数定理 （2分） 得分 评卷人 六、（6分）求上半单位圆域在映射下的象. 解：令，则 ， （3分） 故将上半单位圆域映射为且沿0到1的半径有割痕. （3分） 得分 评卷人 七、（8分）求一映射，将半带形域映射为单位圆域. 解： （2分） （1分） （2分） （2分） （1分）  得分 评