2010年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)---空间中夹角和距离.doc

2010年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）---空间中的夹角和距离 一．【课标要求】 1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。 2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角； 3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角； 二．【命题走向】 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展，从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。 预测2010年高考试题： （1）单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5分左右；解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分值为6分左右； （2）选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提 三．【要点精讲】 1．距离 空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的 求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 （1）两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度 （2）点到平面的距离 平面外一点P 在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法： eq \o\ac(○,1)“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。 eq \o\ac(○,2)等体积法。 （3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离； （4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。 求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为? ，它们的公垂线AA′的长度为d ，在a 上有线段A′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝（“±”符号由实际情况选定） 2．夹角 空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为0°，90°、[0°，90°]和[0°，180°]。 （1）两条异面直线所成的角 求法： eq \o\ac(○,1)先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得； eq \o\ac(○,2)通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角 （2）直线和平面所成的角 求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法” （3）二面角的度量是通过其平面角来实现的 解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos ? ＝，其中S 为斜面面积，S′为射影面积，? 为斜面与射影面所成的二面角 3．等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 四．【典例解析】 题型1：直线间的距离问题 例1．已知正方体的棱长为1，求直线DA与AC的距离。 解法1：如图1连结AC，则AC∥面ACD， 连结DA、DC、DO，过O作OE⊥DO于E 因为AC⊥面BBDD，所以AC⊥OE。 又OD⊥OE，所以OE⊥面ACD。 因此OE为直线DA与AC的距离 在Rt△OOD中，，可求得 点评：此题是异面直线的距离问题：可作