2011年中考数学圆中成比例线段.doc

圆中成比例的线段 知识考点： 1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。 2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。 精典例题： 【例1】已知如图，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2。求： （1）BC的长； （2）⊙O的半径。 分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。 解：（1）设BM＝MN＝NC＝，由切割线定理可得： 即解得：，∴BC＝； （2）在Rt△ABC中，AC＝ 由割线定理可得： ∴ ∴ 【例2】如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E，求的值。 分析：由切割线定理有，可得直径BC的长，要求，由△ACE∽△ADB得，也就是求CA、BA的长。 解：连结CE ∵PA是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线 ∴ 又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15 ∵PA切⊙O于A，∴∠PAB＝∠ACP 又∠P为公共角，△PAB∽△PCA ∴ ∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝900 ∴ ∴AC＝，AB＝ 又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB ∴△ACE∽△ADB，∴ ∴ 【例3】如图，AB切⊙O于A，D为⊙O内一点，且OD＝2，连结BD交⊙O于C，BC＝CD＝3，AB＝6，求⊙O的半径。 分析：把“图形”补成切割线定理、相交弦定理图形，问题就解决了。 解：延长BD交⊙O于E，两方延长OD交⊙O于F、G，设⊙O的半径为 ∵BA切⊙O于A，∴ ∵AB＝6，BC＝3，∴BE＝12，ED＝6 又，FD＝－OD，DG＝＋OD ∴，OD＝2 ∴， 探索与创新： 【问题一】如图，已知AB切⊙O于点B，AB的垂直平分线CF交AB于C，交⊙O于D、E，设点M是射线CF上的任一点，CM＝，连结AM，若CB＝3，DE＝8。探索： （1）当M在线段DE（不含端点E）上时，延长AM交⊙O于点N，连结NE，若△ACM∽△NEM，请问：EN与AB的大小关系。 分析：如图1，由△ACM∽△NEM可得∠NEM＝900，连结BO并延长交EN于G，可证BO垂直平分EN，即可证明EN＝AB，结论就探索出来了。 解：∵AB的垂直平分线CF交AB于C，CB＝3 ∴AB＝6，∠ACM＝900 又∵△ACM∽△NEM，∴∠NEM＝900 连结BO并延长交EN于点G ∵CB切⊙O于B，∴∠GBC＝900 ∴∠GBC＝∠BCE＝∠GEC＝900 ∴四边BCEG是矩形 ∴∠EGB＝900，G为NE的中点 ∴EN＝2EG＝＝2CB＝6＝AB （2）如图，当M在射线EF上时，若为小于17的正数，问是否存在这样的，使得AM与⊙O相切？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由。 分析：先满足AM与⊙O相切，求出相应的值，看它是否是小于17的正数即可。 解：当AM与⊙O相切于点P时，有MP＝AM－AP＝AM－AB＝AM－6 ∵MC＝，AC＝3，∠ACM＝900 ∴AM＝，又MD＝MC－CD＝ ME＝MC－CE＝， ∴ 即，解得（已舍去） ∵ ∴存在这样的正数，使得AM与⊙O相切。 跟踪训练： 一、选择题： 1、PT切⊙O于T，割线PAB经过O点交⊙O于A、B，若PT＝4，PA＝2，则cos∠BPT＝（ ） A、 B、 C、 D、 2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∶BC＝1∶2，AB＝35，PD＝40，则过点P的⊙O的切线长是（ ） A、60 B、 C、 D、50 3、如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB并延长与PQ相交于Q点，若AQ＝6，AC＝5，则弦AB的长是（ ） A、3 B、5 C、 D、 4、如图，PT切⊙O于T，PBA是割线，与⊙O的交点是A、B，与直线CT的交点是D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB＝（ ） A、10 B、20 C、5 D、 二、填空题： 1、如图，PA切⊙O于A，PB＝4，PO＝5，则PA＝ 。 2、如图，两圆相交于C、D，AB为公切线A、B为切点，CD的延长线交AB于点M，若AB＝12，CD＝9，则MD＝ 。