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IP3公式推导
有关IP 的两个公式推导
内容简介:
在射频系统中,是一个衡量线性度的非常重要的指标,一般教材均给出单个器件或系统的,但给出的物理意义较为抽象,作者在此试图通过简单的理论推导,给出其较为直观的物理意义。并在此基础上,推导出系统与单个器件之间的关系。
IP的物理意义
一般参考资料均给出了的数学定义:
(1-1)
为单音信号的功率,为与之差值,图一给出了详细描述。
ωω
ω
ω1
ω2
2ω2-ω1
2ω1-ω2
A1
A2
B2
B1
A1=A2
A1=A2
图一:等幅双音信号及其三阶分量关系图
在测试单个器件(或系统)的时,均是在信号输入端馈入两个频差为ω2-ω1的双音信号,然后根据上图所示:分别测出(或)(注:图中给出的是幅值,其量纲为电压,频谱仪实测值,,,的量纲为功率,其归一化关系分别为;;;);(或)
代入公式一即可得出其。
现考察(或)与,的关系。
设
(1-2)
现考察的是频率关系,不妨设φ1=0
故有
(1-3)
同理可设:
(1-4)
设器件(或系统)的传递函数为f()
则有:
(1-5)
其中 C0,C1,C2,C3,C4 。。。。。均为器件本身决定的常数。由于器件(或系统)的非线性,可认为C0,C1,C2,C3,C4不等于0,从上式可以看出仅有系数为C3的那一项对(或)有贡献,具体分析如下:
(1-6)
其中:
对应;
对应
令
(1-7)
综合以上公式推导可得:
(1-8)
同理可得:
(1-9)
令:
(1-10)
则:
(1-11)
式(1)给出的是的对数表达式,将其还原为真数表达式可得:
= (1-12)
还原为对数表达式可得:
(1-13)
至此可得如下结论:
(1)任一器件的是由其本身的非线性所决定的一个常数。
(2) EMBED Equation.3 具有非常明确的物理意义:它非常简洁地定量地刻画了器件的线性度,与输入信号的大小,器件本身的增益没有任何关系。
二. 系统与单个器件之间的关系
为方便讨论,先以两个器件为例。设两个器件的(输出)分别为和,电压增益分别为,,功率增益分别为,(其归一化关系为;)。结构如下图所示:
器件一 EMBED Equation.3 器件二
器件一
EMBED Equation.3
器件二
G
图二
信号关系如图三所示:
GV
GV
GV
G
G
VV
V
V
器件二输出端的信号关系(b)
GV
GV
GV
M
M
器件一输出端的信号关系(a)
器件二输出端的信号关系(c)
在器件一的输入端输入两个等幅双音信号,由于其非线性,器件一的输出信号如(a)所示,引用前述结论,可得以下结论:
(注:
输出端的信号为,,,,同时也是器件二的输入信号。由于器件二的增益,其输出信号如图(b)所示;又由于器件二的非线性,必然产生新的三阶分量,(如图(c)所示)。同理有如下关系:
(2-1)
综上所述,器件二的输出信号构成如下:
等幅双音信号:
,
等幅三阶分量:
现定义来描述该两器件系统的线性度,则有:
(2-2)
化简可得如下关系:
(2-3)
又
(2-4)
代入上式可得:
(2-5)
又
上式可改写为:
(2-6)
也可化简为:
(2-7)
化为对数表达式可得:
EMBED Equation.3
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