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1 §3.9 质心 质心运动定律 1. 对于分立的质点系 第一章和第二章学习了质点的运动学和动力学. 本章的前几节从能量及其守恒定律的角度学习了质点系的运动规律. 但对于质点系的运动学和动力学没有讨论. 因为质点系的运动学方程组和动力学方程组的求解太复杂. 换一个角度考虑, 质点系的运动可以看成是质心的运动和质点系中各质点相对于质心的运动. 例如, 跳水运动员在空中的运动可以看成质心的运动和相对于质心的转动. 一、质心的坐标 m´是质点系的总质量. /14 乃言迢篡更五嫂透毙苫孺牺抿家穿毛膨播谍氖婴慎余叠南鬼溜酬损诧蓉铆大学物理系马文伟课堂笔记大学物理系马文伟课堂笔记 2 §3.9 质心 质心运动定律 直角坐标系下： 2. 对于质量连续分布的物体 对于质量连续分布的物体, 上面的求和要用积分代替. 如右下图所示. 直角坐标系下： /14 棉歌搬揣撞恐筹错徒佰燕蒜霞窘脏呀判恋履纂勘逊列笋透唇求混盅皱检稻大学物理系马文伟课堂笔记大学物理系马文伟课堂笔记 3 §3.9 质心 质心运动定律 下面通过两个例子掌握质量分立和连续分布体系的质心的求法. 例 1 水分子H2O是由两个氢原子和一个氧原子构成, 它们的结构如右下图 所示. 每个氢原子与氧原子之间距离均为d=1.010-10m, 氢原子与氧原 子两条连线之间的夹角为=104.60. 求水分子的质心. 解 如图所示, 将坐标原点建在氧原子的中心. 根据对称性可知, 质心的位置应该在对称轴(x轴)上. 密度均匀、形状对称分布的物体, 其质心都在它的几何中心处. 如质量均匀分布的圆环其质心在圆环中心; 质量均匀分布的球其质心在球心等. 由质心的计算公式可得, 即水分子的质心在对称轴上距氧原子中心6.8 10-12m处. /14 京必吏搅桨灌沂够刃七朴踢杠国拦淖把勇茅嘛澡智哨钟横错刮皖久鹃膳乍大学物理系马文伟课堂笔记大学物理系马文伟课堂笔记 4 §3.9 质心 质心运动定律 例 2 求半径为R的匀质半薄球壳的质心. 解 如图所示, 将坐标原点建在球壳的球心. 根据对称性可知, 质心的位置应该在对称轴(z轴)上. 在球坐标系中进行计算, 球坐标系中有 设匀质薄球壳的质量面密度为, 则半球壳的总质量为 /14 赊世启醒叉戊凭壁算虽碘居桅转歪芬婿吸众琢淤蜗旺害界厨说怔极窍逾厦大学物理系马文伟课堂笔记大学物理系马文伟课堂笔记 5 §3.9 质心 质心运动定律 由此可得, 质心的坐标为(0,0, R/2), 质心在半球壳对称轴上半径的中点处. 二、质心运动定律 以上讨论的是如何确定任意体系的质心位置. 那么质心的运动遵守什么规律呢 ? 遵守牛顿定律吗 ? 因为质点的质量及总质量是不变的, 因此上式两边对时间求导数, 得 设质点系由n个质点组成. /14 欧综纽失涂言振许嚣锡枪奄组署蔽虏衅障众幕尝该颗八昏帖侦位滥隋快狈大学物理系马文伟课堂笔记大学物理系马文伟课堂笔记 6 §3.9 质心 质心运动定律 因此, (5)式可以写成, (6)式表明, 系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度乘以系统的质量. 即系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的动量. (6)式两边再对时间求导数得, /14 逸鸵钥驯廖幼菜肛系坪闲孩蛇池贞踊做逆饰劈砸潘圆跟定毡鸿铝夸臃构馆大学物理系马文伟课堂笔记大学物理系马文伟课堂笔记 7 §3.9 质心 质心运动定律 (7)式表明, 作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以系统质心的加速度. --------这一结论称为质心运动定律. (7)式形式上相当于质点系的所有质量都集中在质心上, 而所有外力都作用在质心上时的牛顿第二定律. 例 3 设有一质量为2 m的弹丸, 从地面斜抛出去, 它飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片, 其中一个碎片竖直自由下落, 另一个碎片水平抛出, 它们同时落地, 试问第二个碎片落地点在何处 ? 分析, 本题可以用二种方法求解: (ii) 直接用运动学方法求解. (i) 用质心运动定律求解. 下面用二种方法进行求解. /14 琴仟胀站俗竟朱词颅礼忆狈谋靳羌娃货医痊扳帝绵砍咀人汐雅向锹氰础膛大学物理系马文伟课堂笔记大学物理系马文伟课堂笔记 8 §3.9 质心 质心运动定律 由质心坐标的计算公式可得, 解法一: 书上的解法-----用质心运动定律求解. 由于爆炸是属于内力, 因此根据质心运动定律可知, 爆炸前后弹丸的质心运动轨迹是相同的. 建立坐标系如图, 以第一个碎片的落地点为坐标原点. 第二个碎片的落地点为x2; 二碎片的质心坐标为