第6课频谱估计3.模型方法.ppt

4.12 模型谱估计;由于模型谱估计不需要加窗，因而可以消除窗函数的畸变影响，得到比传统谱估计更高的频率分辨率，尤其是对短记录数据。 4.12.1 有理系统函数模型 为白噪声， 为u(n)的平均功率，于是 从而功率谱估计就转化为估计 ，设 的函数形式已知，只是其中的若干参数未知，则估计 就转化为参数估计。分辨率和谱保真度改善的程度取决于模型拟合的程度。 ;设线性系统具有如下形式的系统函数： 其中 ，称为系统的AR(自回归)分支。 其中 ，称为系统的MA(滑动平均)分支。 ARMA模型的多重性：指不同的模型具有相同的功率 谱，也称为功率谱等价或相关函数等价。 为了保证模型唯一性，要求滤波器是因果的，并且 可逆。只有最小相位系统才能保证其逆系统是一个 稳定的系统。因此一般考虑平稳过程是因果的和最 小相位的。即A(z)=0和B(z)=0的根全部在单位圆内。 ;z在单位圆上取值，可得 令a0=b0=1，模型称为自回归－滑动平均模型，简记 为ARMA(p,q)模型。即令输入为u(n)，输出为x(n)，系统可由如下差分方程描述： 如果除a0=1之外，其它ak=0，即有 称为MA(q)过程（全零点模型），其功率谱为： ;如果除b0=1之外，其它bk=0，即有： 称为AR(p)过程（全极点模型），其功率谱为： 4.12.2 三种模型之间的关系 AR模型和MA模型是ARMA模型的两个特例。 MA和ARMA模型参数估计方法要比单纯的AR模型参数估计困难，并常借助于AR模型参数估计方法。 ;由于可用的数据有限，不论采用何种参数估计法，待估计的参数愈多，估计的精度就愈差。 模型间转化的理论基础是 Kolmogorov定理，即任何ARMA(p,q)过程或MA(q)过程都能用无限阶的AR(∞)过程表示；同样，任何ARMA(p,q)过程或AR(p)过程也可用一个MA(∞)过程表示。这说明即使对于待研究过程选用了不太合适的模型，只要它的阶数足够高，就可作为过程的很好近似。;ARMA(p,q)及MA(q)与AR(∞)模型间的等效关系：;2 MA(q)模型可等效成MA(∞)模型 MA模型 求逆Z变换，得 故可等效成AR(∞)模型。 同样可将ARMA(p,q)模型或AR(p)模型表示成MA(∞)模型。 4.12.3 模型的选定 模型选定的原则：;1 节俭(Parsimony)原理。指模型应包括尽可能少的 参数，并根据实际情况加以调节，因为在相当多的 模型中，用最少的模型参数可能并不是有效的。 2选定模型要考虑模型能表示谱峰、谱谷等方面的能力。 对具有尖峰的谱，需要具有极点的模型（AR或ARMA 模型），如果用MA模型去估计其功率谱密度，结果 将很差。ARMA模型适合于功率谱中既有尖峰又有凹 谷的过程。MA模型则适合于真实谱中仅含有陡窄凹 谷的过程。 ;4.12.4 滑动平均谱估计及阶数确定; 因此功率谱 恒等于BT谱估计，但意义不同 MA(q)过程的相关函数具有截尾特性，即当mq时， 相关函数为零。这一特性对判断模型的性质十分重 要。 ;2 滑动平均模型阶数的确定 Durbin提出可将MA(q)过程转换为AR过程，然后用 Yule-Walker方程去估计MA参数。 Chow提出利用无偏自相关估计，并在若干项后检 验此估计量是否迅速逼近于零。因为当延迟mq，Rx(m)=0。 逐次延迟确定的假设检验：若延迟为q的Rx(q)相对 于延迟小于q的自相关函数，变化是充分接近零的， 则MA过程的阶认为是q。 ;4.12.5 自回归滑动平均谱估计及阶数确定;ARMA谱 分 析 法 一;求ARMA(p,q)模型AR部分参量ai的方法： 由于 两边乘x*(n-m) ，并取数学期望，得 其中 设ARMA模型为因果稳定系统，对应的脉冲响应为 h(n)，则有 ; 由于 所以 取m=q+1,…,q+p，得扩展的Yule-Walker方程 方程组仅与AR参数有关，与MA参数无关。 ;由于之前令 ，即 又有 则可通过求出ai，求出ck，进而求出bj，得到MA参数 b ARMA谱分析法二 将ARMA功率谱分解： 其中