我们认为逢山开路主要从路线及价钱考虑寻找一种可行的路线同时又.doc

The 2ed homework of mathematical modeling TEAM:14#304 dormitory Persons:Fan JingjingJiang Lan Li Linjian Li Xia March 21,2006 Collage of Mathematical Science ,BNU Modeling in construction Mathematical Modeling For: Prof. Zeng and TA Lee. 逢山修路问题 一，摘要 本题旨在通过对复杂地形的探索与分析，以及对资金费用的考虑，探索出一条逢山开路的最佳路线。最终找到一条最优路线建设方案，使花费最低。 我们的主要思路如下：从山脚经居民点到矿区，需要经过一个峡谷，并且有一条小溪，到达居民区，之后经过一条山脉到矿区。经过小溪的地方我们要修桥，因为考虑到山的坡度问题以及修桥的高价费用问题，我们需要寻找一条最适路线，由于公路有坡度的限制（），我们必须选择可行的一条道路通向山谷，并且尽量花费最少。修桥的地方我们也要考虑到坡度的可行性，以及结合水面最宽处与峡谷深度的那个函数，找出河面比较窄的点来修桥达到资金花费最少。之后考虑山峰修一条隧道，由已知条件，我们应尽量控制隧道长度在300米以内，因为超过300米花费就是一倍！通过对隧道长度，公路坡度，以及矿区高程的因素的考虑，我们选定了一条路线通过修隧道过山峰，再至矿区。 最后，我们通过用matlab作图，拟合函数计算路线长度，以及应用公路学以及城市规划的一些原理分析，提出了一种花费最小化的可行做法。 关键词：隧道，桥，高程，坡度，资费 二，模型假设 我们认为逢山开路主要从路线及价钱考虑，寻找一种可行的路线同时又较为省钱，为这个问题的最佳方案。为简化该问题，我们先做出几点假设： （1）、假设山体充分光滑。 （2）、不考虑路面宽度。 （3）、溪流的的最深处在x+y=4800，(2400≤x≤4800)上，且该直线为溪流的中线。 （4）、桥梁的长宽度为溪流的宽度。 根据对整个地形图及公路走向的认识，我们决定将公路分为四段来修：一是从起点（0，800）到小溪流，二是修桥及到居民点一端，三是从居民点到山峰这段，最后就是越过山到达矿区。 我们先建立一个空间三维的直角坐标系，x、y坐标同题目中一致，z坐标则表示对应给出的x、y坐标的点的高程。根据题中所给数据，我们将该地区的大致图形绘制如下： 下面是路段工程成本及对路段坡度α（上升高程与水平距离之比）的限制如下表： 工程种类 一般路段 桥梁 隧道 工程成本/（元/米） 300 2000 1500（长度≤300米） 3000（长度﹥300米） 对坡度的限制 α＜0.125 α=0 α＜0.100 第一段公路属于一般路段，由于这一段路的终点是桥梁，故要确定这一段路首先要确定桥梁的具体位置。 三，模型设计 （一）、桥梁位置的选取 我们已先假设溪流的中心连线在o-xy面上的投影为直线段x+y=4800(2400≤x≤4800)上，先假设桥梁的长度为小溪的宽度，小溪的宽度与（溪流最深处的）x的坐标关系可近似表示为： 由此可知，小溪的宽度随x的增加呈递增的关系。再从小溪左右公路对坡度要求，我们暂时确定小溪的位置在点之间，因为小溪的直线方程从点开始为：，我们先假设在小溪中心高程z=800的地方修桥。在这样的高程上，我们找到小溪上对应的点为，由此算出溪流的宽度：。因为桥的坡度为零，从这方面考虑，则桥的两个落点只能在点这两点与A点的两条直线上确定，为了方便，我们做一个垂直于o-xy面，含直线的剖面如下图， 为桥的两个落点，为了满足桥的宽度最接近小溪宽度，通过计算，我们求得，则桥的实际高程为855，桥的实际宽度为 82米。倒此，我们解决的桥梁问题。 （二）、第一段山路的优化设计 由题所给数据及上面对桥梁位置的找寻，我们可以知道这段路的始点为M（0，800，650），终点为。通过对整个数据的观察及计算，我们需要在x=400,x=800的位置分别寻找高程z=700，750的点，为了简便计算，我们假设在x=400与x=800的地方，山形在两点间呈直线，那么我们可以得到这样两个点我们用分段直线连接，这里,记该段曲线的长度为。在y=400这个平面上，我们在x=1200到x=2400直接修路是可行的，于是根据题中所给数据，我们以合一条山体曲线，即公路的曲线如下图所示（由于横纵坐标的选取间隔不一样，故看起来较为陡峭，实际不然）： 该曲线的函数为：z=-2.0642e-8*x^3+3.125e-5*x^2+0.19167*x+570，x在1200到2400之间，记该段曲线的长度为