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§4.8 LTI系统的频域分析 一．基本信号e j ?t作用于LTI系统的响应 二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应 H(j ?)的分析 频域分析法步骤： 对周期信号还可用傅里叶级数法 频域分析例 解法二：用三角傅里叶级数 三、频率响应H(j?)的求法 频率响应例1 频率响应例2 四、无失真传输与滤波 (2)无失真传输条件： 例 无失真例 失真的有关概念 相位特性为什么与频率成正比关系？ 2、理想低通滤波器 理想低通的冲激响应 理想低通的阶跃响应 阶跃响应波形 说明 一种可实现的低通 3、物理可实现系统的条件 第 * 页 ■ ▲ 第 * 页 ■ 基本信号e j ?t作用于LTI系统的响应 一般信号f(t)作用于LTI系统的响应 频率响应H(j?)的求法 无失真传输与滤波 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。 对周期信号： 对非周期信号： 其基本信号为 ej ?t 设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率ω的基本信号ej ?t时，其响应 而上式积分 正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(j ?)，称为系统的频率响应函数。 y(t) = H(j ?) ej ?t H(j ?)反映了响应y(t)的幅度和相位随频率变化情况。 y(t) = h(t)* ej ?t ej ?t H(j ?) ej ?t F(j ?) ej ?t d ? F(j ?)H(j ?) ej ?t d ? 齐次性 可加性 ‖ f(t) ‖ y(t) =F –1[F(j ?)H(j ?) ] Y(j ?) = F(j ?)H(j ?) 频率响应H(j?)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j?)与激励f(t)的傅里叶变换F(j?)之比，即 ?H(j?)?称为幅频特性（或幅频响应）；θ(?)称为相频特性（或相频响应）。?H(j?)?是?的偶函数，θ(?)是?的奇函数。 傅里叶变换法 周期信号 若 则可推导出 例 例：某LTI系统的?H(j?)?和θ(?)如图， 若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的响应。 解法一：用傅里叶变换 F(j?) = 4πδ(ω) + 4π[δ(ω–5) + δ(ω+5)] + 4π[δ(ω–10) + δ(ω+10)] Y(j?) = F(j?)H(j?) = 4πδ(ω) H(0) + 4π[δ(ω–5) H(j5) + δ(ω+5) H(-j5)] + 4π[δ(ω–10) H(j10) + δ(ω+10) H(-j10) ] H(j?)=?H(j?)? ejθ(?) = 4πδ(ω) + 4π[-j0.5δ(ω–5) + j0.5δ(ω+ 5) ] y(t) = F-1[Y(j?) ]= 2 +2sin(5t) f(t)的基波角频率Ω=5rad/s f(t)= 2 + 4cos(Ωt) + 4cos(2Ωt) H(0) =1， H(jΩ) = 0.5e-j0.5π， H(j2Ω) = 0 y(t) = 2 + 4×0.5cos(Ωt – 0.5π) = 2 + 2sin(5t) 分析：幅值、相位的变化与H(j?)的关系 1. H(j?) = F [h(t)] H(j?) = Y(j?)/F(j?) （1）由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。 （2）由电路直接求出。 例2 例1 例1：某系统的微分方程为 y′(t) + 2y(t) = f(t) 求f(t) = e-tε(t)时的响应y(t)。 解：微分方程两边取傅里叶变换 j?Y(j?) + 2Y(j?) = F(j?) f(t) = e-tε(t)←→ Y(j?) = H(j?)F(j?) y(t) = (e-t – e-2t )ε(t) 例：如图电路，R=1Ω，C=1F，以uC(t)为输出，求其h(t)。 若uS(t)=2cos(t)，求uC(t)=？ 解：画电路频域模型 h(t)= e-t ε(t) 由于 系统对于信号的作用大体可分为两类： 信号的传输 滤波 传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。 1、无失真传输 （1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。即 输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t) = K f(t–td) 系统要实现无失真传输，对系统h(