不可数集.PPT

第四节 不可数集 1 不可数集的存在性(区间[0,1]是不可数集) 数的进位制简介 十进制小数 相应于 对[0,1]十等分 二进制小数 相应于 对[0,1]二等分 三进制小数 相应于 对[0,1]三等分 不可数集的存在性的另一种证明 2 连续势集的定义 连续势集的性质（并集） 连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集 5 可数势与连续势 * * 第一章 集合及其基数 [ ][ ][ ] 0 1/3 2/3 1 证明：假设［0,1］是可数集,则 [0,1] 可以写成一个无穷 序列的形式： [ ][ ][ ] 0 1/3 2/3 1 说明：对应[0,1]十等分的端点有两种表示，如 0.2000000… 0.1999999… （十进制小数） 第一次十等分确定第一位小数 第二次十等分确定第二位小数 证明：假设（0,1）是可数集,则 （0,1） 可以写成一个无穷 序列的形式： 把每个数写成正规小数（不能以0为循环节） 令x=0.a1a2a3a4… 其中 则得到矛盾，所以 (0,1)是不可数集。 定义：与[0,1]区间对等的集合称为连续势集， 其势记为 ， 显然： 例：1）R~ (0,1) ~ [0,1] ~ [0,1) ~ R+~ a,b (ab) 2）无理数集为连续势集 （无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多） 3 连续势集的性质（卡氏积） （1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集 1874年Cantor考虑 R 与Rn的对应关系，并企图证 明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年， 他证明了一一对应关系是存在的，从而说明 Rn具 有连续基数 ，他当初写信给Dedekind说： “我看到了它，但我简直不能相信它”. 推论 平面与直线有“相同多”的点 ( ]( ] ( ] 0 1 2 n-1 n ( ]( ] ( ] 0 1 2 n-1 n y 4 无最大势定理 从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合. 此证为对角线方法，与(0,1) 是不可数集的证明比较。 　　尽管 Cantor 在1883年就证明了这个定理，但直到1899年 Cantor 才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，即所谓的 Cantor 的最大基数悖论. 因此Cantor在1899年给 Dedekind 的一封信中曾指出,人们 要想不陷于矛盾的话,就不能谈论由一切集合所组成的集合. 集合悖论 证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N 与{0,1}N对等；下证： 说明：相当于把 对应到一个三进制小数 思考：为什么不用二进制。 N上的特征函数全体 * *