先假定命题结论的反面成立.PPT

在古希腊,有两个哲学家,由于争论和天气的炎热感到疲倦,于是就在花园里的一棵大树下躺下休息,不一会儿就睡着了,这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额,当他们醒来后,彼此相看时都笑了.一会儿其中一个人突然不笑了.这是为什么呢? 议一议 各抒己见 假设自己的前额没有被涂黑, 那么另一个哲学家也不会有异常行为, 自己的前额也被涂黑了. 这与另一个哲学家笑个不停矛盾, 所以假设“自己的前额没有涂黑”不正确, 于是自己的前额也被涂黑了. 探究1：掀起你的盖头来——认识反证法 反证法的定义： 在证明数学问题时，先假定命题结论的反面成立， 在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相 矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛 盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定 命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法。 例1、求证:在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°. 已知：∠Ａ,∠Ｂ,∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角. 求证：∠Ａ,∠Ｂ,∠Ｃ中至少有一个角 大于或等于60°. 证明： 假设∠Ａ,∠Ｂ,∠Ｃ中没有一个角大于 或等于60 °. ＜ ＜ ＜ 三角形的内角和等于180° 即∠Ａ 60°，∠Ｂ 60°，∠Ｃ 60°　 这与 矛盾， 所以假设不正确 ， 所以原命题成立． 则∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＜180 °. 推理 假设 矛盾 命题成立 一、提出假设 二、推理论证 三、得出矛盾 四、结论成立 以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论 这与“......”相矛盾 所以假设不成立，所求证的命题成立 假设待证命题不成立，或是命题的反面成立。 归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。 说出下列结论的反面： a⊥b 2. a ∥ b 3. a ≥0 4. d是正数 5.至少有一个 6.至多有一个 a不垂直于b 4. d不是正数,即d ≤0 3. a ＜0 2. a ∥b 5.一个也没有 6.至少有两个 1.命题”三角形中最多只有一个内角是直角“的结论的否定是（ ） A、有两个内角是直角 B、有三个内角是直角 C、至少有两个内角是直角 D、没有一个内角是直角 2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（ ） A.a、b、c都是奇数 B. a、b、c都是偶数 C. a、b、c中至少有两个偶数 D. a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数 C D 例2：反证法证明：四边形中至少有一个角是钝角或直角。 练习：已知：在△ABC中，∠C=90°. 求证： ∠B一定是锐角. 证明：假设∠B不是锐角，即∠B是直角或钝角. 综合① 和②知假设不成立, 所以∠B一定是锐角. ①当∠B是直角，即∠B= 90°时, ②当∠B是钝角，即∠B ＞ 90°时, ∠B+ ∠C=90° +90°=180°, 于是∠ A+∠B+ ∠C= ∠ A +180°＞180°, 这与三角形的内角和等于180°相矛盾; ∠B+ ∠C ＞ 90° +90°=180°, 于是∠ A+∠B+ ∠C ＞ ∠ A +180°＞180°, 这与三角形的内角和等于180° 相矛盾; A C B 例3、证明：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 已知：如图，AB//EF，CD//EF， 求证：AB//CD 你是用什么方法说明的？ O 证明： ∵AB//EF，CD//EF ∴过点O有两条直线AB、CD与直线EF平行 这与“过直线外一点有且只有一条直线和这 条直线平行”矛盾， ∴假设不成立 ∴AB//CD 假设AB CD，即AB与CD相交于点O ∥ 假设 推理 矛盾 命题成立 练习:P102课内练习T1，P102作业题T3 练习: 求证在同一平面内,如果一条直线和两条平 行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P. 求证: l3与l2相交. l1 l2 l3 P l3与l2 不相交. l3∥l2 l1∥l2 经过直线外一点,有且只有一条直线与已 知直线平行 这与“____________________________ _____________”矛盾. 证明: