2011年六年级秋季博雅拔尖班_第九课研究性习题答案详解.pdf

【研究性习题】 (1) 在○里填上合适的数字，使七位数○2010○○能同时被 9,8,25 整除，则○里所填的 3 个数之和是 _____________. 【答案】6. 【分析与解】 因为能同时被8,25 整除，所以原数可以被200 整除，即后两个○里填的数字都是0 ； 而此数又能被9 整除，即数字和能被9 整除，所以第一个○里填6 ；所以○里的3 个数之和是6. (2) 88885555 乘以5555 的积，除以7 的余数是 .   50个个 50 50个 【答案】0. 【分析与解】 本题主要考察的是余数问题中的阿三定理的运用，考虑乘积除以7 的余数，先考虑每个数除以7 的余数再将余数乘积. 首先888888=888×1001 ，它是7 的倍数，即888888 能被7 整除，同理555555 能被7 整除； 所以88885555 除以7 的余数等于8855 除以7 的余数，余数是0(原因是50÷6=8……2 ，每6  50个个 50 个8 或6 个5 一组能被7 整除,还剩下两个8 和两个5) ；即88885555 是7 的倍数，所以最终它与  50个个 50 5555 的积除以7 的余数是0.  50个 (3) 篮子里装有不多于 500 个的苹果，如果每次二个，每次三个，每次四个，每次五个，每次六个地 取出来，篮子里最后都剩下一个苹果；而如果每次七个地取出，那么恰好没有苹果剩下，篮子里共有 苹果 个. 【答案】301. 【分析与解】 设篮子里的苹果数目是M ； 我们知道M÷2 余 1，M÷3 余 1， M÷4 余 1 ，M÷5 余 1， M÷6 余1，M 是7 的倍数； 那么(M-1)同时是2 ，3 ，4 ，5，6 的倍数； 由于2 ，3 ，4 ，5 ，6 的最小公倍数是60 ，所以(M- 1)是60 的倍数，即M=60n+1 ； 枚举500 以内比60 的倍数大1 的数，尝试除以7 ，可得只有301 满足条件. (4) 黑板上写着两个数1 和2 ，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a 和b ，则增写a×b ＋a ＋b 这个 数，比如可增写5( 因为1×2＋1＋2 ＝5)增写11(因为1×5＋1＋5 ＝11)，一直写下去，问能否得到下列两 数，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？ ①2001 ； ②2303. 【答案】①不能，②6 次. 【分析与解】 ① 不能，观察得到的数，可以知道所有的数除了1 之外除以3 都余2.原因如下： 根据产生规则，从现有的数中取两个数作a 和b ，产生新数： 若a ，b 中有一个是1，不妨设a=1 ，根据阿三定理，则新数a×b ＋a ＋b=2b+1≡2(mod3) ； 若a ，b 中没有1，则a、b 都是除以3 余2 的数，根据阿三定理，则新数a×b ＋a ＋b≡2×2+2+2≡2(mod3) ； 即所得的数除以3 的余数都是2 ，而2001 能被3 整除，所以2001 不能得到. ② a×b ＋a ＋b=(a+1)(b+1)-1，所以要得到一个新数，只要将a ，b 两个数加1 再相乘，最终减去 1 即 可， 2303=a×b ＋a ＋b=(a+1)(b+1)- 1，则2304=(a+1)(b+1) ；而2304=28 2 ×3 ； 原来的两个数是1 和2 ，加1 即成为2 和3 ，要得到28 2 5 3 ×3 的，则必然需要2 ×3 与2 ×3 相乘得到， (不能用24