2011年六年级秋季博雅拔尖班_第十课研究性习题答案详解.pdf

【研究性习题】 (1)一个两位数个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9 ，这样的两位数中，质数有 _________个。 【答案】3. 【分析与解】 由题意，可设原两位数为 ，则交换后变为 ，即10b +a −(10a +b ) 9(b =−a ) 9 ； ab ba 所以，b-a=1 ；这样的两位数有：12，23 ，34 ，45 ，56，67 ，78 ，89 ； 其中只有23 ，67 和89 满足，共3 个. (2)如果四个两位质数a ，b ，c ，d 两两不同，并且满足，等式a+b=c+d。那么， （1）a+b 的最小可能值是多少？ （2）a ＋b 的最大可能值是多少？ 【答案】30 ； 168. 【分析与解】 （1）考虑最小的两位质数情况：11,13,17,19,23…… 发现11+19=13+17，正好满足a+b=c+d 的形式，所以a+b 的最小可能值是30. （2）考虑最大的两位质数情况：97,89,83,79,73,71,67…… 发现89+73=83+79 ，97+71=89+79 均满足a+b=c+d 的形式，经比较发现第二个等式结果更大，所 以a ＋b 的最大可能值是168. (3) 2310 的约数共有_________个。 【答案】32. 【分析与解】 将2310 分解质因数得：2310= ； 2 ×3 ×5 ×7 ×1 1 约数的个数为指数加1 的乘积，所以约数个数为(1+1)×( 1+1)×( 1+1)×( 1+1)×( 1+1)=32. (4) 189 与某数的最大公约数是21 ，最小公倍数是378 ，某数是 。 【答案】42. 【分析与解】 设某数为x ，则有189×x=21×378 ，所以可得x=42. (5)一个两位数乘以 7 ，所得到的积的各位数上的数字相加和是18，并且这个两位数的约数有奇数个， 那么这个两位数是 . 【答案】81. 【分析与解】 首先由“所得到的积的各位数上的数字相加和是18”的条件可以得到这个两位数是9 的倍数， 而由“两位数的约数有奇数个”可以得到这个两位数是完全平方数； 所以这个两位数是36 或81 ，验证36×7 和81×7 的结果，可以发现只有81 满足结果. (6)如果两个连续奇数都是质数，则称它们为一对“孪生质数” ，例如(3,5)、(5,7)、(11,13)等。那么50~100 之间有 对孪生质数。 【答案】2. 【分析与解】 熟悉100 以内质数表的同学应该能很快发现，只有(59,61)和(71,73)两对. (7)两个自然数之和是 667 ，他们的最小公倍数除以最大公约数所得的商是120，且这两个数之差尽可 能的大，则这两个数为 ． 【答案】552 和115. 【分析与解】 667=23×29 ，所以这两个数必然均为23 或者29 的倍数(否则这两个数互质，他们的最小公倍数除 以最大公约数所得的商必然大于120). 若这两个数都是 23 的倍数，可设这两个数为23a 和23b(a+b=29) ，此时需要[a,b]÷(a,b)=120，则 a=24 ，b=5 ，此时两个数的差为23×(24-5)=437，两个数为552 和115； 若这两个数都是 29 的倍数，可设这两个数为29a 和29b(a+b=23) ，此时需要[a,b]÷(a,b)=120，则 a=15 ，b=8 ，此时两个数的差为29×(15-8)=203437 ，所以这种情况不再考虑。 (8)若(1030)N 140 ，则N ______ . 【答案】5. 【分析与解】 根据进位制的知识，1×N 3 +3×N 140 估算N 6, 因为6 的立方大于140，尝试N 5, 满足. (9) 一个自然数用7 进制表示是一个三位数，当他用9