2012年宜宾市创新拔尖人才考试数学试题.doc

宜宾市2012年拔尖创新人才培养试点班招生文化测试 数学试卷 (考试时间：90分钟；全卷满分100分) 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项填在括号内） 要使有意义，则实数应满足（ ） A． B． C． D． 若实数、、在数轴上的位置如图所示，则代数式化简为（ ） A． B． C． D． 如图是有16个小正方形拼成的方格图，图上有一深色三角形，若深色三角形的面积为平方厘米，则此方格图中剩余部分的面积为（ ） A．12平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．9平方厘米 若，则＝（ ） A．0 B． C． D． 若方程组的解为，且，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝60°， AD＝2,CD＝5，则BD的长等于（ ） A． B． C．8 D． 设一元二次方程的两实根分别为、且，则、应满足（ ） A． B． C． D． 如图，一次函数的图象与轴、轴交于 A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点， 过点C作CE⊥轴于E，过点D作DF⊥轴于F，连结 CF、DE、EF。 有下列四个结论： ①△CEF与△DEF的面积相等； ②△AOB∽△FOE； ③△DCE≌△CDF； ④AC＝BD. 其中正确的结论是（ ） A．③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填在题中横线上。 如图，△ABC的顶点都在正方形格纸的格点上， 则sinA＝ ；∠ABC＝ 。 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是 （1，0），若点A的坐标是，将线段BA 绕点B顺时针旋转90°得到线段,则点的 坐标是 。 如图，BC是半径为1的⊙O的直径，点P在BC的 延长线上，PA是⊙O的切线，A为切点，AD⊥BC于 点D，且点D是OC中点，则PB·PC＝ 。 方程的解是 。 如图，P是矩形ABCD内一点，若PA＝3，PB＝4，PD＝,那么 PC＝ 。 对实数和，定义运算“”： ，设函数 。有下列结论： ①当时，； ②当时，函数的最小值为－2； ③当时，关于的方程有两个不相等的实数根；其中正确的是 。（写成正确结论的序号） 三、简答题（本大题共6个小题，共58分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （本小题满分8分） 某中学在全校1800名学生中开展“每天锻炼一小时”健身活动，之后随机调查了部分学生每天锻炼的时间情况，将所得数据作为样本统计整理，画出如图所示的统计图。 （1）求样本的众数和中位数； （2）经调查发现参加锻炼时间不足一小时的学生较多，因此，学校进一步要求参加锻炼时间不足55分钟的学生必须增加锻炼时间，请你用样本估计全校有多少学生要增加锻炼时间？ （3）从样本中随机抽取锻炼时间为55分钟的学生2人作为宣传员，小伟是其中之一，求小伟被选中的概率。 （本小题满分10分） 某城市计划修建A型、B型停车点30个，可提供不超过9500辆自行车和8100辆电动车车位，设一个A型停车点可停放自行车400辆，电动车250辆；一个B型停车点可停放自行车150辆，电动车300辆. （1）请你为这个城市设计几种符合条件的停车点修建方案； （2）若修建一个A型停车点费用是4300元，修建一个B型停车点费用是5700元，应怎样安排修建，才能使修建费用最低？最低费用是多少？ （3）在（2）的条件下，若修建一个A型停车点费用提高元，修建一个B型停车点费用不变，又应该怎样安排修建，才能使修建费用最低？ （本小题满分8分） 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，CD⊥AB于D,交AE于点P，在BE上取点F，使BF＝CE，连结PF。 （1）求证：PC＝BF； （2）求证：PF∥AB。 （本小题满分10分） 如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，BD为⊙O的直径，连结AD交BC于E，若AE＝2，ED＝4。 （1）求AB的长； （2）过点A作⊙O的切线,交DB的延长线于点F，求证：. （本小题满分12分） 如图所示，过点F(0，1)的直线与抛物线交于M（，）和N（，）两点（其中，）。分别过M、N作直线：的垂线，垂足分别为,