有关江水污染问题.doc

题目 关于江水污染问题的影响 摘 要 本文研究的问题是关于江水污染对下游水质的影响问题。环境污染问题关乎国计民生，尤其是水污染问题，越来越受到人们的关注。经过认真分析讨论最终选用了微分方程模型求解，并得到了很好的验证。第一个问题是关于被污染的水在自然条件下污染物的浓度随距离的变化关系（在本文的假设中等价于被污染的水在自然条件下污染物的浓度随时间变化的关系）。对于这一问题，通过微分方程模型求解得若江水的流速为10千米/小时,在观测站下游20千米的污染物的浓度是723.8699 单位。 问题二是在问题一的基础上求解在自然条件下，离被污染的水源多远取得的水才不会对人、畜等产生任何危害。问题三和四则更加贴近实际需要，实用性跟高。 一 问题重述 在某江某水质观测站测得某污染物的浓度为800单位，污染物每小时有5 %被自然降解。 问题一：若测得江水的流速为10千米/小时, 问在观测站下游20千米的污染物的浓度是多少？ 问题二：若此污染物的浓度降为10单位以下时，对人、畜等不会产生任何危害，问观测站下游多少千米的地方污染物将不会对人、畜等产生任何危害？ 问题三：如果流经某居民区时，水质不能达到安全要求，需要提前在上游进行水质改良，即通过技术手段加大污染物的降解速率。若要求水质观测站下游a千米处必须达到水质的安全（即污染物的浓度降为10单位以下）, 请给出具体的处理方案和理由。 问题四：若污染的江水流进下游的10千米处一个湖中，若单位时间(每小时)江水的流入量为b单位（立方米），从湖中单位时间(每小时)的流出水量为d单位（立方米）。假设流入江水和湖水充分混合，充分混合所需的时间忽略不计，湖水中在江水流入前没有此种污染物。 请建立模型分析湖水中此污染物浓度随时间的变化规律。 二 问题分析 本题为生活中的环境污染问题，层层递进提出了四个问题。第一个是寻找关联性问题：被污染的水在自然条件下污染物的浓度随距离的变化关系（在本文的假设中等价于被污染的水在自然条件下污染物的浓度随时间变化的关系）。第二个问题是对第一个问题的延伸，要求求出污染物浓度降低到对人、畜无任何危害时离观测站的距离；第三个问题要解决的是在保证下游用水安全的前提下如何通过确定开始技术降解的位置，使投入费用最少。最后一个问题是利用问题一得到的模型预测湖水中污染物浓度与时间的关系。 三 建模过程 问题一： 模型假设： 江水流动的过程中通过蒸发而引起江水中污染物的浓度忽略不计； 不考虑因天气情况引起江水水量和流量的变化，从而导致江水污染物的浓度的变化； 江水在流动（未进入湖泊或大海前）的过程中污染物的浓度变化仅与时间有关； 忽略温度对该污染物的降解速率的影响； 定义符号说明： ρ（t）—污染物浓度随时间变化的函数； t—时间（单位为：h）； 模型建立： ?ρ=ρ*95%*?t - ρ*?t 即：?ρ/?t=-0.05*ρ, 模型求解： 当?t→0时，ρ′=0.05*ρ; 解该一阶微分方程得：ρ(t)= C1*exp(-1/20*t)； 把初值ρ(0)=800 代入可得，ρ（t）=800*exp(-1/20*t)； 故，当江水的水流以10千米/小时流动时, 观测站处的江水到达观测站下游20千米所花费的时间为2h，故该处的污染物的浓度为： ρ(2)=800*exp(-1/20*2)= 723.8699 单位； 问题二 模型假设： 江水流动的过程中通过蒸发而引起江水中污染物的浓度忽略不记； 不考虑因天气情况引起江水水量和流量的变化，从而导致江水污染物的浓度的变化； 江水在流动（未进入湖泊或大海前）的过程中污染物的浓度变化仅与时间有关； 忽略温度和光照对该污染物的降解速率的影响； 定义符号说明： ρ（t）—污染物浓度随时间变化的函数； t—时间（单位为：h）； 模型建立： 由问题一可得模型：ρ（t）=800*exp(-1/20*t)； 模型求解： 令 ρ(t)=800*exp(-1/20*t)≤10; 即exp(-1/20*t)≤1/80; 两边取自然对数得：-1/20*t≤㏑﹙1/80﹚ 解得t≥87.6405； 即观测站下游876.405千米的地方污染物将不会对人、畜等产生任何危害。 问题三 模型假设： 江水流动的过程中通过蒸发而引起江水中污染物的浓度忽略不记； 不考虑因天气情况引起江水水量和流量的变化，从而导致江水污染物的浓度的变化； 江水在流动（未进入湖泊或大海前）的过程中污染物的浓度变化仅与时间有关； 忽略温度和光照对该污染物的降解速率的影响； 符合定义说明 k—通过技术手段后污染物每小时有k %被自然降解（k5）; y—污染物每增加一个百分点所需的费用（单位是元）； h—技术处