选修2-3第二章《离散型随机变量的均值及方差》二校卓东勇.doc

学科教师辅导讲义 讲义编号 学员编号： 年 级： 课时数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题 离散型随机变量的均值与方差ξ的分布列如下 ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望 根据射手射击所得环数ξ的分布列， 我们可以估计，在n次射击中，预计大约有　　 　　次得4环； 　　　　次得5环； ………… 　　次得10环． 故在n次射击的总环数大约为 ， 从而，预计n次射击的平均环数约为 ． 这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平． 对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数: …． 1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 则称 …… 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 　　2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 4. 均值或期望的一个性质:若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为 ξ x1 x2 … xn … η … … P p1 p2 … pn … 于是…… ＝……)……) ＝， 由此，我们得到了期望的一个性质: 5.若ξB（n,p），则Eξ=np 证明如下： ∵　， ∴　0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×． 又∵ ， ∴ ＋＋…＋＋…＋． 故　　若ξ～B(n，p)，则np． （二）离散型随机变量的方差 1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么, ＝＋＋…＋＋… 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望． 2. 标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作． 3.方差的性质：（1）；（2）； （3）若ξ～B(n，p)，则np(1-p) 4.其它： ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度； ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 三、例题分析 （一）离散型随机变量的均值 例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望 解：因为， 所以 例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~ B（20,0.9）,, 由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是： 例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3 800 元． 方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水． 方案3：不采取措施，希望不发生洪水． 试比较哪一种方案好． 解：用X1 、X2和X3分别表示三种方案的损失． 采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即 X1 = 3 800 . 采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即 同样，采用第 3 种方案，有 于是， EX1＝3 800 , EX2＝62 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 , E