通用版2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题10数学思想第38练数形结合思想文.doc

第3练　数形结合思想 [思想方法解读]　数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围． 数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合．如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的． 体验高考 1．(2015·北京)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　) A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2} 答案　C 解析　令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图. 由　得 ∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1x≤1}． 2已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　) A．有最小值－1，最大值1 B．有最大值1，无最小值 C．有最小值－1，无最大值 D．有最大值－1，无最小值 答案　C 解析　由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图， 而h(x)＝， 故h(x)有最小值－1，无最大值． 3．(2015·重庆)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________. 答案　4或－6 解析　由于f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|， 当a－1时， f(x)＝ 作出f(x)的大致图象如图所示， 由函数f(x)的图象可知f(a)＝5， 即a＋1＝5，∴a＝4. 同理，当a≤－1时，－a－1＝5，∴a＝－6. 高考必会题型 题型一　数形结合在方程根的个数中的应用 例1　方程sin πx＝的解的个数是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　C 解析　在同一平面直角坐标系中画出y1＝sin πx和y2＝的图象，如下图： 观察图象可知y1＝sin πx和y2＝的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，在加上原点，共7个交点，所以方程sin πx＝有7个解． 点评　利用数形结合求方程解应注意两点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解． (2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 变式训练1　若函数f(x)＝有且只有两个不同的零点，则实数k的取值范围是(　　) A．(－4,0) B．(－∞，0] C．(－4,0] D．(－∞，0) 答案　B 解析　当x0时，f(x)＝lnx与x轴有一个交点， 即f(x)有一个零点． 依题意，显然当x≤0时，f(x)＝－kx2也有一个零点，即方程－kx2＝0只能有一个解． 令h(x)＝，g(x)＝kx2， 则两函数图象在x≤0时只能有一个交点． 若k0，显然函数h(x)＝与g(x)＝kx2在x≤0时有两个交点，即点A与原点O(如图所示)． 显然k0不符合题意． 若k0，显然函数h(x)＝与g(x)＝kx2在x≤0时只有一个交点， 即原点O(如图所示)． 若k＝0，显然函数h(x)＝与g(x)＝kx2在x≤0时只有一个交点，即原点O. 综上，所求实数k的取值范围是(－∞，0]．故选B. 题型二　利用数形结合解决不等式函数问题 例2　已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是________． 答案　(0,1) 解析　当x≥2时，f(x)＝， 此时f(x)在[2，＋∞)上单调递减， 且0f(x)