华中科技大学计算方法第一章分析.ppt

两边同乘以 , 得 令 , 有 式中 , . 若附加弯矩约束条件, 得 系数矩阵严格对角占优, 故系数矩阵非奇异, 上述线性方程组有唯一解，可用追赶法求解。将解带回到子区间上的表达式中（用二阶导表示），即有s(x)在每个区间上的表达式。 若附加转角边界条件, 得 线性方程组为 对于周期性边界条件, 得： 即 式中 , . 线性方程组为: 将 当作已知参数, 从后 个方程中求解出用 表示的后 个参数, 然后将它们代入第一个方程解得 , 最终得到其它参数. Remark： 1.类似地，可以使用节点处的一阶导数来表示三次样条插值函数。 2.对三次样条插值函数来说，当插值节点逐渐加密时，可以证明，不但样条插值函数收敛于函数本身，而且其导数也收敛于函数的导数。 四、例题 解 1）建立差商表 1.0 1.5 2.0 0.8415 0.9975 0.9093 0.312 -0.1764 -0.4884 2）插值 Newton插值多项式适用于节点任意分布的情形。但当节点等距分布时，可以简化Newton插值公式。 §1.3 等距节点插值 设a=x0x1… xn=b，yi=f(xi)为等距节点xi=x0+h(i=0,1,…,n)上的函数值，其中h=(b-a)/n称为步长。 在此基础上我们先定义差分，用差分表示Newton插值多项式，从而得到等距节点的插值公式。 一、差分的定义与性质 定义：称 ?yi=yi+1-yi (i=0,1,…,n-1) 为f(x)在xi处以h为步长的一阶向前差分。 ?2yi＝?yi＋1-?yi =yi+2-2yi+1+yi (i=0,1,…,n-2) 称为f(x)在xi处以h为步长的二阶向前差分。 一般地，?myi＝?m-1yi＋1-?m-1yi (i=0,1,…,n-m) 称为f(x)在xi处以h为步长的m阶向前差分。 差分的性质 性质1：各阶差分可用函数值线性表示，其计算公式为： 其中 性质2：差分与差商满足下述关系： 证明：利用数学归纳法 当k＝1时，有 即结论成立。 设k＝m-1时结论成立，即 则当k＝m时，有 由数学归纳法知，结论成立。 证毕 Remark：类似地可以定义向后差分与中心差分： 性质3：差分与导数满足关系： 证明：利用差商与导数、差分的关系，有： 证毕 二、Newton向前插值公式 令x=x0+th，由xi=x0+ih(i=0,1,…,n)得： x-xi=(t-i)h，则有: 将差商与差分的关系式 带入Newton插值多项式，得: 从而可得Newton向前插值多项式及其余项为： 三、差分表 Newton向前插值公式，又称表初公式，它利用差分表的最上面一个斜行的数值进行计算。 四、例题 解 # 五、Newton向后插值公式 类似于向前差分，也可以得到差商与向后差分的关系： 将插值节点从大到小排列，即 类似于向前插值公式，可得到Newton向后插值公式，又称表末公式，它利用差分表的最下面一个斜行的数值进行计算。 同样，还可以利用中心差分，构造插值公式，称为贝塞尔（Bessel）插值公式。 这一类插值问题为埃尔米特(Hermite)插值问题。其几何意义是在插值点上插值曲线与被插值曲线有公共切线。由这2n+2个条件可以唯一确定一个2n+1次的插值多项式。具体我们采用基函数的方法来确定。 §1.4 埃尔米特插值 一、问题 1.辅助问题及Hermit插值 二、一般情形 2.辅助问题的求解 3.Hermite插值问题解的存在唯一性 存在性： 唯一性： 0 4.插值余项 分析： 定理证明 函数 零点（从小到大） …… …… 至少2n+1个零点 …… 至少1个零点ξ 证毕 三、特殊情形－带不完全导数的插值问题举例 分析（方法1）： 误差： # 1.高次插值的评述 在实际应用中, 很少采用高次插值。 ①.在两相邻插值节点间, 插值函数未必能够很好地近似被插值函数。 一、分段插值法 ②.对于等距节点的牛顿插值公式, 函数值的微小扰动可能引起高阶差分有很大的变化. §1.5 三次样条插值 函数 在区间[-5,5]上用等距节点的插值问题是上世纪初Runge研究过的一个有名实例. 在区间上分别采用10次、15次、20次的等距节点插值多项式。随着插值次数的提高, 在 范围内的近似程度并没有变好, 反而变坏. 高次插值并不一定带来更好的近似效果。 (a) (b) (c) 函数