华南师范大学电磁学习题课-静止电荷的电场分析.ppt

* * * 静止电荷的电场 习题、例题分析 + 1.9 一均匀带电直线长为L，线电荷密度为? . 求直线的延长线上距L中点为r (r L/2)处的场强. 解: 建立ox轴，如图所示 x 在坐标 x 处取一长度为dx 的电荷元， 其电量为 电荷元到场点P距离为-x, 它在P点处产生的场强为 x 电荷元 ?dx 在P点产生的场强 方向如图所示. 大小为 ? 各电荷元在 P 点的场强方向一致 ? 场强大小直接相加 x 写成矢量式有 方向： λ0时沿ox轴正方向 λ0时沿ox轴负方向 1.10 如图，一个细的带电塑料圆环，半径为R，所带线电荷密度? 和θ有 的关系.求在圆心处的电场强度的方向和大小. 解：如图所示，在圆环上取一长为Rdθ的电荷元. 其电量为dq = ? Rdθ . 这电荷元在圆心O处产生的电场强度 如图所示. 其大小为 故 于是 所以 1.17 一无限长的均匀带电薄壁圆筒，截面半径为a，面电荷密度为σ，设垂直于筒轴方向从中心轴向外的径矢的大小为r，求其电场发布并画出E－r曲线. 解：无限长的均匀带电薄壁圆筒所产生的电场具有轴对称性，故空间电场的分布也具有轴对称性，即空间各点的电场方向与轴垂直. r o h r P 据电场的对称性，可经场点P作一个半径为r、高为h的圆柱面作为高斯面,如图所示. 于是 据高斯定理有 所以 O r a E E－r曲线如右图所示 1.21 一大平面中部有一半径为R的小孔，设平面均匀带电，面电荷密度为σ0，求通过小孔并与平面垂直的直线上的场强分布. 解：方法一：利用已知公式和场强叠加原理. 据课本P21例题1.6的结果知半径为R的 均匀带电圆面在其轴线上产生的场强为 方向与圆面垂直 σ0 x O R 而无限大均匀带电平面产生的电场为 方向与圆面垂直 因此据场强叠加原理可得通过小孔并与平面垂直的直线上的场强分布为 方向与圆面垂直 方法二：利用已知公式和场强叠加原理. σ0 x O R r dr 取一半径为r，宽度为dr的细圆环，如图所示. 这细圆环在轴线的p点处产生的电场 如图所示. 大小为 方向沿轴线 因为各细圆环在P点处产生的场强方向相同 所以据场强叠加原理可得通过小孔并与平面垂直的直线上的场强分布为 方向沿轴线 时，指向x轴正方向； 时，指向x轴负方向； 时，指向x轴负方向； 时，指向x轴正方向； 1.2 三个电量为-q 的点电荷各放在边长为r的等边三角形的三个顶点，电荷Q (Q0) 放在三角形的重心上. 为使每个负电荷受力为零，Q之值应为多大？ 解：由对称性可知，当一个负电荷受力为零时，其它负电荷也必然受力为零. 要使一个负电荷受力为零，则其所在处的电场强度要为零. -q -q -q Q r r r A B C 如图所示，其它两个负电荷在B处负电荷处产生的电场强度分别为 、 ，电荷Q产生的电场强度为 . 故有 由几何关系可得 解得： 1.12 如图所示，两根平行长直线间距为2a，一端用半圆形线连起来. 全线上均匀带电，试证明在圆心O处的电场强度为零. O 证明：以λ表示线电荷密度. 如图所示，考虑对顶的dθ所对应的电荷元 和 在O点所产生的电场. 因为电荷元 和 在O点 所产生的电场方向相反.故O点处的合电场强度大小为 r a 又 故可得 由于结果与θ无关，所以任一对与对顶的dθ所对应的电荷元在O点所产生的合电场都为零.所以全线电荷在圆心O处的总电场强度为零. r a O 1.13 一个半球面上均匀带有电荷,试用对称性和叠加原理论证下述结论成立: 在如鼓面似地蒙住半球面的假想圆面上各点的电场方向都垂直于此圆面. P 证明:设圆面上任一点P处的电场强度 的方向与圆面不垂直,其方向如图所示. 补充下半球面,则它在P点处产生的电场强度 如图所示. 显然, 这与均匀带电球面内电场强度处处为零相矛盾. 所以均匀带电半球面在圆面上产生的电场的方向都垂直于此圆面. 1.14 (1)点电荷q位于边长为a的正立方体的中心,通过此立方体的每一面的电通量各是多少? (2)若电荷移至立方体的一个顶点上,那么通过每一个面的电通量又是多少? (1)由对称性知,通过各面的电通量相等. 又由高斯定理知通过立方体各面的总电通量为 故通过此立方体的每一面的电通量各是