印度与阿拉伯数学分析.ppt

代数学 * * 印度与阿拉伯数学 印度与阿拉伯数学 4.1 印度数学 1921—1922年间．印度河流域莫亨佐·达罗、哈拉帕等古代城市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文化”或“印度河流域文化”．这一文明的创造者是印度土著居民达罗毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右． 如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围． 印度数学的发展可以划分为3个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期(约公元前3000一前1400)，史称河谷文化；随后是吠陀时期(约公元前10世纪一前3世纪)；其次是悉檀多时期(5世纪一12世纪)． 4.1.1古代《绳法经》 印度数学最早有可考文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教的经典《吠陀》当中，年代很不确定．吠陀即梵文veda，原意为知识、光明。《吠陀》内容包括对诸神的颂歌、巫术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后来记录在棕榈叶或树皮上． 这些《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳的法规》(Sulva sūtrus)，即《绳法经》，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的作品．其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题．如勾股定理、矩形对角线的性质等。给出了圆周率、根号2的近似值。 耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部分构成。其中出现了许多计算公式，如圆的周长、弧长等。 4.1.2“巴克沙利手稿” 关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学；可参考资料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利(Bakhashali)的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿”． 其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方程．特别值得注意的是手稿中使用了一些数学符号 : （1）减号：“12-7”记成“12 7+”． （2）零号：用点表示0 ，后来逐渐演变为圆圈 。 巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码 ： 有一块公元76年的石碑，因存于印度中央邦西北地区的瓜廖尔(GwMior)城而以瓜廖尔石碑著称，上面已记有明白无疑的数“0”．瓜廖尔数系为： 用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发明．在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素，可以与其他数一起运算． 印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至 欧洲．零号的传播则要晚，不过至迟在13世纪初，斐波那契《算经》中已有包括零号在内的完整印度数码的介绍．印度数码和十进位值制记数法被欧洲人普遍接受之后，在欧洲近代科学的进步中扮演了重要的角色． 4.1.3 “悉檀多时期的印度数学” 悉檀多(梵文siddhanta，原为佛教因明术语，可意译为“宗”，或“体 系”)时代是印度数学的繁荣鼎盛时期，其数学内容主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家，如阿利耶波多(AryabhataⅠ，476一约550)、婆罗摩笈多(Brahmagupta，598—665)、马哈维拉(Mahavira，9世纪)和婆什迦罗(BhaskaraⅡ，1114一约1185)等． （一）阿耶波多 阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》(499)传世．该书最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。 阿耶波多把半弦与全弦所对弧的一半相对应(见图)，成为今天的习惯，同时他以半径的 作为度量弧的单位，实际是弧度制度量的开始．他还给出了第一象限内间隔为3o45’的正弦差值表． 阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”(kuttaka，原意“粉碎”)方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法． (二)婆罗摩笈多 婆罗摩笈多的两部天文著作《婆罗摩修正体系》(628)和《肯德卡迪亚格》(约665)，都含有大量的数学内容，其代数成就十分可贵． ●比较完整地叙述了零的运算法则 ●利用二次插值法构造了间隔为15°的正弦函数表 ●获得了边长为 的四边形的面积公式（有误）： 实际上