周期函数的傅里叶级数分析.pptVIP

傅里叶(Fourier)级数 故 f (x) 的傅里叶级数 由于 f (x) 满足狄利克雷充分条件, 由收敛定理得 傅里叶(Fourier)级数 傅里叶(Fourier)级数 (2) F(x) 展开为傅里叶级数; 注 作 法 傅里叶(Fourier)级数 对于非周期函数, 如果 f (x)只在区间 上有定义, 并且满足狄氏充分条件, 也可展开成 傅氏级数. 解 例 将函数 展开为傅氏级数. 延拓后的周期函数连续, 其傅氏级数展开式在 下面计算傅里叶系数. 傅里叶(Fourier)级数 收敛于 f (x). 偶函数 奇函数 傅里叶(Fourier)级数 所求函数的傅氏展开式为 利用傅氏展开式求级数的和 傅里叶(Fourier)级数 傅里叶(Fourier)级数 为周期的傅氏级数的和函数 s(x) 在 上的 解 s(x) = 傅里叶(Fourier)级数 表达式. 由 f (x) 周期延拓后的函数图像可知 已知级数 则级数 的和 等于 解 所以, 傅里叶(Fourier)级数 由奇函数与偶函数的积分性质 系数的公式, 易得下面的结论. 和傅里叶 此时称傅里叶级数为 (sine series) 正弦级数, 傅里叶(Fourier)级数 sine series and cosine series 四、正弦级数和余弦级数 它的傅里叶系数为 此时称傅里叶级数为 注 将函数展为傅里叶级数时, 先要考查函数 这是非常有用的. 是否有奇偶性, (cosine series) 余弦级数, 傅里叶(Fourier)级数 它的傅里叶系数为 解 函数的图形如图, 电学上称为 偶函数 例 展为傅里叶级数. 锯齿波. 傅里叶(Fourier)级数 余弦级数 傅里叶(Fourier)级数 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 奇函数 傅里叶(Fourier)级数 设 f (x)是周期为 的周期函数,它在 例 上的表达式为 将 f (x)展开成傅氏级数. f (x)的图形 傅里叶(Fourier)级数 和函数图象 正弦级数 傅里叶(Fourier)级数 例 在无线电设备中,常用电子管整流器将交流电转换为直流电.已知电压 t为时间 试将E(t)展为傅氏级数. 解 在整个数轴上连续. 偶函数, 傅里叶(Fourier)级数 所给函数满足狄利克雷充分条件， n为奇数 n为偶数 (n=1时也对) 傅里叶(Fourier)级数 傅里叶(Fourier)级数 奇延拓 偶延拓 两种: 正弦级数. 偶函数, 奇函数, 余弦级数; 傅里叶(Fourier)级数 因而展开成 因而展开成 上有定义. 作法 3. F(x)可展开为傅氏级数, 这个级数必定是 得到 f (x)的正弦级数 的展开式. (偶函数) 的奇函数 正弦级数 (余弦级数) (余弦级数) 注 其实也不必真正实施这一手续. 傅里叶(Fourier)级数 满足收敛定理的条件 1. f (x)在 2. 在开区间 内补充定义, 得到定义在 上的函数F(x), 使它成为 在上 无穷级数 Fourier series 周期函数的傅里叶级数 上一节详细研究了一种重要的函数项级数: 幂级数. 下面研究另一种重要的函数项级数: 这种级数是由于研究周期现象的需要而 产生的. 它在电工、力学和许多学科中都有很 重要的应用. 傅里叶 级数. 傅里叶(Fourier)级数 傅里叶(Fourier)级数 1757年, 法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时, 大胆地采用了三角级数表示函数: 1759年, 拉格朗日在对声学的研究中也使用了三角级数. 1777年, 欧拉在研究天文学的时候, 用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角级数时的系数, 也就是现今教科书中傅里叶级数系数. 历史朔源 在历史上, 三角级数的出现和发展与求解微分方程是分不开的. 1753年, 丹?贝努利首先提出将弦振动方程的解表示为三角级数的形式, 这为函数的傅里叶 展开这个纯数学问题奠定了物理基础, 促进了分析学的发展. 1822年, 傅里叶在《热的解析理论》一书中对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的特殊的情形所采用的三角级数方法进行加工处理, 发展成一般理论. 傅里叶(Fourier)级数 在自然界和人类的生产实践中, 周期运动很常见. 如行星的飞转, 飞轮的旋转, 蒸气机活塞的往复运动, 数学上, 用周期函数来描述它们. 最简单最基本 的周期函数是 谐函数 周期 振幅 时间 角频率 初相 简谐