2.3.2.2双曲线方程及性质的应用 课件(人教a版选修2-1).ppt

设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 又y1y2=(x1+b)(x2+b),所以 =x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2 =2(-b2-1)+b·2b+b2=b2-2=0，故OP⊥OQ. 【方法技巧】与双曲线有关的综合问题 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力. (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解. (2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解. 【变式训练】已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双 曲线右支上的任意一点，若 的最小值为8a，则双曲线的 离心率e的取值范围是( ) 【解析】选D.依题意知|PF1|-|PF2|=2a， 当且仅当 时等号成立. 此时|PF2|=2a，|PF1|=4a， 因为|PF1|+|PF2|≥2c. 所以6a≥2c，即1e≤3. 【补偿训练】已知双曲线C的方程为 (a0,b0),离心 率 顶点到渐近线的距离为 (1)求双曲线C的方程. (2)如图P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线 上，且分别位于第一，二象限，若 求△AOB的面积. * 第2课时　 双曲线方程及性质的应用 【题型示范】 类型一 直线与双曲线的位置关系 【典例1】 (1)双曲线 的左、右焦点分别为F1，F2.给定四条直 线：①5x-3y=0;②x-y-4=0;③5x-3y-52=0;④4x-3y+15=0.如果 上述直线上存在点P，使|PF2|=|PF1|+6，则满足这样条件的直 线对应的序号是___________. (2)(2014·天津高二检测)已知双曲线C: (a0,b0) 的离心率为 且过点 ①求双曲线C的方程； ②若直线l1: 与双曲线C恒有两个不同的交点A，B， 求k的取值范围. 【解题探究】1.题(1)满足条件|PF2|-|PF1|=2a(2a|F1F2|)的点P的轨迹是什么? 2.题(2)直线l1与双曲线C有两个公共点应满足什么条件? 【探究提示】1.满足条件|PF2|-|PF1|=2a的点P的轨迹为双曲线的左支. 2.由直线l1与双曲线C的方程组成的方程组应有两组解. 【自主解答】(1)由 所以a2=9,b2=16,所以c2=25,c=5, 由双曲线的定义，双曲线上任意一点P满足||PF2|-|PF1||=6 10. 当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时，说明直线与双曲线的 左支有公共点. 由已知双曲线的渐近线方程为 对于①③两直线的斜率均为 故①③均与双曲线左支无公 共点，经验证②④表示的直线与双曲线有交点. 答案：②④ (2)①由 可得 所以a2=3b2,故双曲线方程可化为 将点 代入双曲线C的方程，可解得b2=1. 所以双曲线C的方程为 ②联立直线与双曲线方程 ? 由题意得 解得-1k1且 所以k的取值范围为 【延伸探究】题(2)中若直线l1与双曲线C有且只有一个公共点，k的取值范围如何？ 【解析】联立直线与双曲线方程 消去y得： 当1-3k2=0,即 时，直线l1与双曲线C只有一个公共点； 当 由Δ=0，即36-36k2=0,所以k=±1时，直线l1与双曲线C只有一 个公共点. 所以当 或k=±1时，直线l1与双曲线C只有一个公共点. 【方法技巧】直线与双曲线位置关系的处理方法 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式. (1)Δ0时，直线与双曲线有两个不同的交点. (2)Δ=0时，直线与双曲线只有一个公共点. (3)Δ0时，直线与双曲线没有公共点. 当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点. 【变式训练】(2014·天津高考)已知双曲线 =1 (a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的 一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为　(　　) 【解析】选A.因为双曲线的一个焦点在直线l上, 易知直线l过双曲线左焦点, 所以0=-2c+10,即c=5, 又因为渐近线平行于直线l:y=2x+10, 故有 =2, 结合c2=a