专题提升(十)以等腰三角形或直角三角形为背景的计算与证明.ppt

∵PB＝PD， ∴△BPO≌△PDE. (2)由(1)可得∠3＝∠4，∵BP平分∠ABO， ∴∠ABP＝∠3， ∴∠ABP＝∠4， 又∵∠A＝∠C，PB＝PD， ∴△ABP≌△CPD， ∴AP＝CD. 如图12，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CE⊥BE，CE与AB相交于点F，AD⊥CF于点D，且AD平分∠FAC，请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对加以证明． 图12 解：△ADC≌△ADF，△ADC≌△CEB. 若选择△ADC≌△ADF，证明如下： ∵AD平分∠FAC，∴∠CAD＝∠FAD. ∵AD⊥CF，∴∠ADC＝∠ADF＝90°. 全效学习中考学练测 全效学习中考学练测 全效学习中考学练测 专题提升（十）以等腰三角形或直角三角形为背景的 计算与证明 把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画示意图说明剪法．(浙教版八上P30作业题第5题) 解：如图，作∠ABC的平分线，交AC于点D.在BA上截取BE＝BD，连结ED，则沿虚线BD，DE剪两刀，分成的三个三角形都是等腰三角形． 一 以等腰三角形为背景的计算与证明 教材母题答图 【思想方法】 等腰三角形的性质常与线段的垂直平分线结合在一起证明线段相等，或者与三角形内角和定理结合在一起求角度，或者通过列方程或方程组解决等腰三角形中边的计算． 1．[2013·无锡]如图1，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC＝_______． 图1 45° 【解析】 ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE. ∵BE⊥AC， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠ABE＝45°. 又∵AB＝AC， ∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝67.5°－45°＝22.5°. ∵AB＝AC，AF⊥BC， ∴BF＝CF，∴BF＝EF， ∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°， ∴∠EFC＝∠BEF＋∠CBE＝22.5°＋22.5°＝45°. 2．[2013·杭州](1)先求解下列两题： ①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，已知∠EDM＝84°，求∠A的度数； 图2 (2)解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出． 【解析】 (1)①根据等边对等角及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ②先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标，再表示出点C的坐标，然后根据AC∥x轴可得点C、D的纵坐标相同，从而表示出点D的坐标，再代入反比例函数解析式． (2)从数学思想上考虑解答． 解：(1)①∵AB＝BC＝CD＝DE， ∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC， ∠ECD＝∠CED. 根据三角形的外角性质，得∠A＋∠BCA＝∠CBD，∠A＋∠CDB＝∠ECD，∠A＋∠CED＝∠EDM， 又∵∠EDM＝84°， ∴∠A＋3∠A＝84°，解得∠A＝21°； 已知如图3，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数． 图3 解：∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ， ∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°， ∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ. 又∵∠BAP＋∠B＝∠APQ， ∠C＋∠CAQ＝∠AQP， ∴∠BAP＝∠CAQ＝30°. ∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠CAQ＝120°. 如图4，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，则AD＝CE.请说明理由． (浙教版八上P49作业题第5题) 二　以直角三角形为背景的计算与证明 图4 由△ABC为等腰直角三角形可得△DEC也是等腰直角三解 【解析】角形，所以DE＝EC，再由DA＝DE，可证得AD＝CE. ：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°， ∵DE⊥BC于点E，即∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝∠C＝45°，∴DE＝CE. ∵BD是△ABC的角平分线．AD⊥BA，DE⊥BC， ∴AD＝DE，∴AD＝CE. 【思想方法】 “等腰直角三角形两腰相等，两底角等于45°”的性质在几何计算与证明中应用广泛，常常与角平分线的性质结合使用． 1．[2013·泰安]如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是______． 2 图5 【解析】 ∵∠ACB＝90°，FD⊥AB， ∴∠ACB＝∠FDB＝90°， ∴∠A＋∠DBC＝90°，∠F＋∠DBC＝90°. ∵∠F＝30°， ∴∠A＝∠F＝30°(同角的余角相等)． 又∵AB的垂直平分线