巧妙分解,化难为易——一道2011年高考试题亮点分析.pdfVIP

巧 妙 分 解， 化 难 为 易 一 道201 1年高考试题亮点分析 欧明霞 曾 俊 (新疆师范大学 数学科学学院，新疆 乌鲁木齐 830054) 2011年全国高校普通招生考试理科数学试题(新课标卷) X／3，0)，C(一1，、／3，0)，P(O，0，1)，则 第18题如下： 盈=(一1， ，0)，砖：(0， ，一1)，茈 如图1，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形， DAB=60。．AB=2AD．PD上底面ABCD． = (一1，0，0)．设平面PAB法向量为n=(x，Y， (I)iiEnSj：PA_kBD．(1／)若PD：AD，求二 面角A—PB—C的余值． )，则有{【 0，即{ y 0，可取 C n‘PB=O 【V 3 y-z=O c 标准答案为： 已知 DAB=60。，AB=2AD，由余弦定理 n=(、／3，1，、／3)，设面PBC的法向量为 得BD=、／3 AD，故BD +AD =AB‘，所以BD上 图 1 m {H1． o，可取 ：( 1，一 )， 图2 AD①，又PDj_底面ABCD，可得BD上PD②，由 ①②得：BD上平面PAD，所I)APAj_BD． (II)如图2：以D为坐标原点AD的长为单位长，射线DA 所以有c。s(m，n)=2鲁7一 ／7、v／ _，故二面角A—PB—c的余 为X轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz，则A(1，0，0)，B(O， 概念不熟悉．不能顺利完成第一小问的证明： 5．数学思维能力不强． (2)约有一半的考生采用了向量法．多数考生理解和掌握 文理科第二问解法多样，传统方法一般优于向量法，综合 了把直线与平面平行转化为直线对应向量与平面的法向量互 法、面积射影法计算量过大，因选择方法不当，陷入复杂的方 相垂直的基本方法，突出的问题是D点和P点两个相关点之间 法，导致增大计算量而失分，第二小问显然用公理化法比用向 的关系没有理清楚，反映了考生在初中对所学平面几何中的 量法简单，射影面积法计算量最大． 平行线分线段成比例(或者三角形相似)等知识掌握不牢，对 四、教学启示 三点共线的认识模糊； 1．适当匹配传统法与向量法在立体几何教学中的比例， 可在一定程度上加强传统方法的训练，在平时训练中注意立 (3)不能看出 是平面 的法向量，重新求该平面的 体几何思想方法选择。注意综合法与向量法整合，以增强学生 法向量浪费时间或致误； 的空间想象能力和逻辑推理能力． (4)不能正确求平面碉 的法向量． 2．加强计算能力的培养．虽然通常讲“多想点少算点”，但 2．证明思维混乱． 计算能力是数学知识运用最基本的能力，特别注意运算的合 以理科(1)问为例，传统方法最主要的思路是把线面平行 理性与运算关键步骤的选择等，在高考中因计算错误导致的 转化为线线平行或面面平行．在阅卷时，极少发现用第二种方 失误