L6-自由电子气1.ppt

* 物理现象 或实验结果 物理模型 决定因素 结果与预言 验 证 修改 理论解释 第五讲 金属自由电子论 §5.1 经典电子论 经典电子论诞生的背景 欧姆定律：20世纪以前，有关金属导电的一些经验规律 分子运动论：在成功地处理了理想气体问题 电子的发现：1897年J. J汤姆生发现电子 价电子 芯电子 原子核 §5.1 经典电子论 特鲁德电子气模型（1900年）： 特鲁德提出了第一个固体微观理论 利用微观概念计算宏观实验观测量 自由电子气+玻尔兹曼统计 欧姆定律 电子平均自由程+分子运动论 电子的热导率 特鲁德(Paul Drude)模型的基本假设 1.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性,与电子发生碰撞。 2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。外电场为零时,忽略电子之间的碰撞，两次碰撞(与离子实碰撞)之间电子自由飞行。 3.玻尔兹曼统计: 自由电子气服从玻尔兹曼统计 4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/?，?称为弛豫时间(即平均自由时间)。每次碰撞时, 电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。 特鲁德模型的成功之处 例：特鲁德模型成功地解释了欧姆定律E=?j (上式中E为外加电场强度、?为电阻率、j为电流密度) 特鲁德模型的极限性 金属电子的弛豫时间 金属电阻率在 10-6欧姆-厘米量级 ?值落在10-15至10-14之间 以铜为例，273K时电阻率为1.56?10-6欧姆-厘米，求得?=2.7?10-14 s 特鲁德模型的极限性 金属电子的平均自由程 以铜为例，?=2.7?10-14 s 电子比热小于经典值 1925年：泡利不相容原理 1926年：费米-狄拉克量子统计 1927年：索末菲半经典电子论， 电子气服从费米-狄拉克量子统计得出了费米能级，费米面等重要概念并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。 A. Sommerfeld §5.2 Sommerfeld的自由电子论 §5.2 Sommerfeld的自由电子论 电子在运动中存在一定的散射机制。 一、自由电子模型 电子在一有限深度的方势阱中运 动，电子间的相互作用忽略不计； 电子按能量的分布遵从Fermi－Dirac统计； 电子的填充满足Pauli不相容原理； 二、运动方程及其解 V0：电子在势阱底部所具有的势能，取V0 ＝0。 令 有 1. 运动方程 方程的解： A：归一化因子，由归一化条件确定 电子的能量： V: 金属的体积 ：电子波矢 金属中原胞的总数： N＝ N1 N2 N3 2. 周期性边界条件 h?为整数 设N?是金属沿基矢 （?＝1，2，3）方向的原胞数， 周期性边界条件： ， ?＝1, 2, 3 在k空间中，电子态的分布是均匀的，分布密度只与金属的体积有关 在 空间中，波矢 的分布密度为 每一个量子态在 空间中所占的体积为： 3. 能态密度 考虑电子自旋，如将每一个自旋态看作一个能态，在能量为E的球体中，电子能态总数为 在能量为E的球体中，波矢 的取值总数为 定义：能态密度 其中： 电子的能态密度并不是均匀分布的，电子能量越高，能态密度就越大。 能态密度：在E－E＋dE之间单位能量间隔中的能态数 三、Fermi－Dirac统计 1. 量子统计基础知识 经典的Boltzmann统计： 量子统计： Fermi－Dirac统计和Bose－Einstein统计 玻色子：自旋为整数n的粒子（如：光子、声子等）， 玻色子遵从Bose－Einstein统计规律， 玻色子不遵从Pauli原理。 费米子：自旋为半整数（n＋1/2） 的粒子（如：电子、质 子、中子 等），费米子遵从Fermi－Dirac统计规 律，费米子的填充满足Pauli原理。 Bose－Einstein统计和Fermi－Dirac统计 Fermi－Dirac统计： Bose－Einstein统计： 2. T＝0时电子的分布 T＝0时，电子的分布函数为 f(E) = { 1 E ? EF0 0 E EF0 E EF0 0 1 f(E) T＝0 —— 费米