Matlab学习系列34. 马尔可夫预测.docx

33. 马尔可夫预测马尔可夫预测，是一种预测事件发生的概率的方法。它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。马尔可夫预测法的基本要求是状态转移概率矩阵必须具有一定的稳定性。因此，必须具有足够的统计数据，才能保证预测的精度与准确性。换句话说，马尔可夫预测模型必须建立在大量的统计数据的基础之上。（一）经典马尔可夫模型一、几个概念状态：指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果；状态转移：事件的发展，从一种状态转变为另一种状态；马尔可夫过程：在事件的发展过程中，若每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。状态转移概率：在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。由状态转为状态的状态转移概率状态转移概率矩阵：假定某一个事件的发展过程有n个可能的状态，即，则矩阵其中，为从状态转为状态的状态转移概率，称为状态转移概率矩阵。状态转移矩阵满足：(i) (ii)二、状态转移矩阵的计算即求出从每个状态转移到其它任何一个状态的状态转移概率，一般采用频率近似概率的思想进行计算。例1某地区农业收成变化的三个状态，即E1“丰收”、E2“平收”和E3“欠收”。下表给出了该地区1960~1999年期间农业收成的状态变化情况（部分）。计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵。datas=xlsread(Agriculture.xlsx);E=datas(:,2);for i=1:3for j=1:3f(i,j)=length(findstr([i j],E));endendf %输出状态转移矩阵fs=sum(f,2);for i=1:3p(i,:)=f(i,:)/fs(i);endp %输出状态转移概率矩阵运行结果：f = 3 7 5%3个E1到E1, 7个E1到E2, 5个E1到E3 7 2 4 4 5 2p = 0.2000 0.4667 0.33330.5385 0.1538 0.3077 0.3636 0.4545 0.1818三、状态概率用表示事件在第k个时刻（时期）处于状态的概率。显然，。根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes条件概率公式，有记为第k个时刻（时期）的状态概率向量。由上式可得到计算状态概率向量的递推公式：其中，为初始状态概率向量。于是，若事件在某个时刻（时期）的状态已知，则利用状态转移概率矩阵和递推公式，就可以求得它经过k次状态转移后，在第个时刻（时期）处于各种可能的状态的概率，从而就得到该事件在第个时刻（时期）的状态概率预测。将例1中1999年的农业收成状态记为，利用状态转移概率矩阵及递推公式，预测2000—2009年可能出现的各种状态的概率。S{1}=[0 1 0];for i=1:10S{i+1}=S{i}*P;endS{2:end}运行结果：ans = 0.5385 0.1538 0.3077ans = 0.3024 0.4148 0.2828ans = 0.3867 0.3335 0.2799ans = 0.3587 0.3590 0.2824ans = 0.3677 0.3510 0.2813ans = 0.3648 0.3535 0.2817ans = 0.3657 0.3527 0.2816ans = 0.3654 0.3529 0.2816ans = 0.3655 0.3528 0.2816ans = 0.3655 0.3529 0.2816四、终极状态概率预测经过无穷多次状态转移后所得到的状态概率称为终极状态概率。终极状态概率应满足：，即，即该齐次方程组的系数行列式为0，有无穷多个解，为得到唯一的正确解，需要另一个限制条件：此时是n个未知数，n+1个方程，去掉前n个中的任意一个，求解即可得到正确解，即终极状态概率向量。求例1的终极状态概率向量。n=3; %状态数目A=P-eye(n);A(end,:)=ones(1,n); %将最后一个方程替换为限制条件sum(pi)=1b=[zeros(n-1,1);1];S=inv(A)*b %解方程组Ax=b得到终极状态概率向量运行结果：S = 0.3655 0.3529 0.2816结果说明，该地区农业收成的变化过程，在无穷多次状态转移后，“丰收”和“平收”状态出现的概率基本相当，都大于“欠收”状态出现的概率。例2设某药品共有1000家购买对象