2012年上半年线性代数课程第二次作业.doc

1.???? 证明方阵A与有相同特征多项式（从而有相同特征值）。 （5分） 证明：因为A与对应的特征多项式分别为, 显然，从而原题得证。 2.设方程A有特征值2和-1， 和，分别是对应的特征向量。试将向量表示成与的线性组合，并求。 （5分） 解：设,解方程组易得s=-1,t=-2,从而. 3.设方阵A满足 证明A的特征值是0或1。（5分） 证明：因为，所以, 显然A的特征值是0或1。 4.求下列方阵的特征值及对应的线性无关特征向量： （10分） （1） (2) 解：参考教材P222－226例1，2，3. 5.设 是方阵A的两个不同的特征值， 分别是对应于 的特征向量。证明： 不是A的特征向量。 （5分） 证明：（反证法）假设是A的特征向量，相应的特征值为，则, 而 , ，根据特征向量的线性无关性可以推出，矛盾。 6.设可逆方阵A 与B相似，证明： 。（5分） 证明：由题意，存在可逆矩阵P，使得,则, 从而原题得证。 7.第4题中哪些矩阵可对角化？哪些矩阵不能对角化？并对可对角化的矩阵A,求一个可逆矩阵P,使 成为对角矩阵。 （5分） 提示：由于第4题中的矩阵都是3阶方阵，所以它们可以对角化的充要条件是存在3个线性无关的特征向量，仿教材P222－226例1，2，3得之。 8.设方阵A满足 其中 求A及 . （5分） 提示：由题意，A的三个特征值为1，0，-1，再对施行正交化和单位化，得到对应的特征向量，所以,因为， 所以根据的单位正交性知。 9.设A为3阶方阵，已知方阵E-A , E+A,3E-A都不可逆。问A是否相似于对角矩阵？为什么？ （10分） 解：由题意，A的特征值为1，-1，3，所以可以相似于对角矩阵。 10.已知 求内积 （5分） 解： 11.求一个与 都正交的单位向量。 （5分） 解：设要求的向量为, 则 可得,再将该向量单位化，即得. 12.设A为正交矩阵，证明：A的伴随矩阵 也是正交矩阵。（5分） 证明：根据所以也是正交的。 13.设方阵 ,其中E为n阶单位矩阵， 为n维单位向量。 证明：A为对称的正交矩阵。 （10分） 证明：对称性易证；正交性可以根据证得。 14.求正交矩阵P,使 成为对角矩阵，其中A为： 。（10分） 解：对A作特征值分解，则特征向量构成了正交矩阵P。 15. 求二次型的标准形，并写出所作的非退化线性代换. （10分） 解：配方得+-4 令 ;;,则 . 所以，相应的非退化线性变换矩阵为