【启慧学案】高中数学必修4苏教版分层演练：3.3 几个三角恒等式.doc

3．3　几个三角恒等式 变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角主要有以下三个基本的恒等变换：(1)代换；(2)公式的逆向变换和多向变换；(3)引入辅助角的变换．前面已利用诱导公式进行过简易的恒等变换，本节中将综合运用和(差)角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换． 1．函数y＝cos2＋sin2－1是(　　) A．周期为2π的奇函数 B．周期为2π的偶函数 C．周期为π的奇函数 D．周期为π的偶函数 解析：y＝＋－1 ＝ ＝－sin 2xsin＝sin 2x. ∴是奇函数且周期T＝＝π. 答案：C 2．为了得到函数y＝sin xcos x＋cos 2x的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：∵y＝sin xcos x＋cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x＝sin ， ∴将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可以得到，故选A. 答案：A 3．已知α∈，sin α＝，则tan 2α＝__________. 解析：∵sin α＝，α∈， ∴cos α＝－＝－. ∴tan α＝＝－， ∴tan 2α＝＝＝－. 答案：－ 4．函数y＝coscos的值域是________． 解析：y＝coscos ＝sincos ＝sin＝cos 2x∈. 答案： 5．若A＋B＝120°，则sin A＋sin B的最大值是________． 解析：sin A＋sin B＝2sincos＝cos≤， ∴最大值为. 答案： 6．函数f(x)＝cos 2x－2sin xcos x的最小正周期是________． 解析：f(x)＝cos 2x－sin 2x＝2cos，∴T＝π. 答案：π 7．若tan θ＝3，则sin 2θ－cos 2θ的值为________． 答案： 8．若cos α＝，且α∈，则tan ＝________. 答案： 9．求函数f(x)＝cos4x＋sin2x的最大值和最小值． 解析：f(x)＝cos4x＋1－cos2x ＝(cos2x－)2＋， 当cos2x＝，即x＝＋，k∈Z时， f(x)min＝； 当cos2x＝0或1时，即x＝，k∈Z时， f(x)max＝1. 10．已知tan＝3，求sin 2θ－2cos2θ的值． 解析：由tan＝3，＝3，得tan θ＝，sin 2θ＝＝＝＝，cos2θ＝＝＝＝， ∴原式＝－2×＝－. 11．已知α2π，且cos α＝， 求的值． 解析：∵α2π， ∴原式＝ ＝ ＝ ＝. 12．已知－2cos(α＋β)＝2，求sin2β＋2cos 2α的值． 解析：由－2cos(α＋β)＝2， 得sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)＝2sin α， sin(2α＋β)－2×[sin(2α＋β)＋sin(－β)]＝2sin α. ∴sin β＝2sin α. ∴sin2β＋2cos 2α＝4sin2α＋2(1－2sin2α)＝2. 13．已知sin α＋sin β＝，tan(α＋β)＝，求cos α＋cos β. 解析：由sin α＋sin β＝，得 2sincos＝，① 设cos α＋cos β＝k，则2coscos＝k，② 且k≠0若k＝0，则cos＝0，则α＋β＝2kπ＋π，tan(α＋β)＝0，与题设矛盾． 由①②得tan＝， ∵tan(α＋β)＝， ∴＝＝＝， 解得k＝或－. 由此可知cos α＋cos β＝或－. 14．已知sin x－cos x＝，求sin3x－cos3x的值． 解析：由sin x－cos x＝ 得， 1－2sin xcos x＝，∴sin xcos x＝， ∴sin3x－cos3x＝(sin x－cos x)(sin2x＋sin xcos x＋cos2x)＝＝. 15．已知向量a＝，b＝，x∈. (1)求a·b及|a＋b|； (2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|(λ0)的最小值是－，求λ的值． 解析：(1)a·b＝coscos＋sin＝cos＝cos 2x＝2cos2x－1， a＋b＝＋ ＝. ∴|a＋b|＝ ＝＝2cos x. (2)由(1)得f(x)＝2(cos x－λ)2－2，x∈，若0λ≤1，[f(x)]min＝－1－2λ2＝－，λ＝； 若λ1，[f(x)]min＝2(1－λ2)－1－2λ2＝－，λ＝，与λ1，矛盾． ∴λ＝.